[论文解读] Geodesic rays and stability in the cscK problem

Chi Li|arXiv (Cornell University)|Jan 6, 2020

Geometry and complex manifolds参考文献 73被引用 26

一句话总结

本文证明了任意具有有限Mabuchi斜率的有限能量测地线射线在Berman-Boucksom-Jonsson意义下是极大的，从而将一致Yau-Tian-Donaldson猜想约化为Boucksom-Jonsson关于非阿基米德熵的代数逼近猜想。此外，本文还表明，模型滤子的一致K-稳定性与$\mathcal{J}^{K_X}$-稳定性是cscK度量存在的充分条件，并在环面流形上给出应用，同时发现Mabuchi斜率的新恒等式。

ABSTRACT

We prove that any finite energy geodesic ray with a finite Mabuchi slope is maximal in the sense of Berman-Boucksom-Jonsson, and reduce the proof of the uniform Yau-Tian-Donaldson conjecture for constant scalar curvature Kähler metrics to Boucksom-Jonsson's regularization conjecture about the convergence of non-Archimedean entropy functional. As further applications, we show that a uniform K-stability condition for model filtrations and the $\mathcal{J}^{K_X}$-stability are both sufficient conditions for the existence of cscK metrics. The first condition is also conjectured to be necessary. Our arguments also produce a different proof of the toric uniform version of YTD conjecture for all polarized toric manifolds. Another result proved here is that the Mabuchi slope of a geodesic ray associated to a test configuration is equal to the non-Archimedean Mabuchi invariant.

研究动机与目标

• 建立不稳定测地线射线与代数逼近性之间的联系，通过极大性实现。
• 将一致Yau-Tian-Donaldson猜想约化为关于非阿基米德熵代数逼近的猜想。
• 证明一致$\mathcal{J}^{K_X}$-稳定性与模型滤子的一致稳定性是cscK度量存在的充分条件。
• 验证与测试构型相关的测地线射线的Mabuchi斜率恒等式。
• 为所有极化环面流形提供环面一致YTD猜想的新证明。

提出的方法

• 利用Mabuchi能量沿$C^{1,\bar{1}}$-测地线的凸性，确保Mabuchi斜率极限的存在性。
• 应用Berman-Boucksom-Jonsson关于极大测地线射线与有限能量非阿基米德度量之间的对应关系。
• 利用非阿基米德度量$\phi_m \to \Phi_{\rm NA}$的强收敛性，分析扭曲Monge-Ampère能量斜率的极限。
• 依赖[8]、[3]和[5]中的估计，证明极大测地线射线的扭曲Monge-Ampère能量斜率的收敛性。
• 使用Chen-Tian将Mabuchi能量分解为熵与能量部分的方法，以分离出熵斜率问题。
• 应用$\mathcal{J}^{K_X}$-能量的正则性与$J$-方程可解性的已知结果，推导存在性定理。

实验结果

研究问题

• RQ1 每个具有有限Mabuchi斜率的有限能量测地线射线是否在Berman-Boucksom-Jonsson意义下都是极大的？
• RQ2 能否通过测试构型代数逼近极大测地线射线的Mabuchi斜率？
• RQ3 一致$\mathcal{J}^{K_X}$-稳定性是否蕴含cscK度量的存在性？
• RQ4 与测试构型相关的测地线射线的Mabuchi斜率是否等于非阿基米德Mabuchi不变量？
• RQ5 在非阿基米德度量强收敛的条件下，极大测地线射线的扭曲Monge-Ampère能量斜率的收敛性是否成立？

主要发现

• 任意具有有限Mabuchi斜率的有限能量测地线射线都是极大的，并满足$\mathbf{E}^{\prime\infty}(\Phi) = \mathbf{E}^{\rm NA}(\Phi_{\rm NA})$。
• 与测试构型相关的测地线射线的Mabuchi斜率等于非阿基米德Mabuchi不变量。
• 对于极大测地线射线，有$({\bf E}^{{\rm dd^{c}}\psi_{Q}})^{\prime\infty}(\Phi) = \lim_{m\to\infty}({\bf E}^{{\rm dd^{c}}\psi_{Q}})^{\prime\infty}(\Phi_m)$成立。
• 一致$\mathcal{J}^{K_X}$-稳定性蕴含cscK度量的存在性。
• 模型滤子的一致稳定性也是cscK度量存在的充分条件。
• 对任意极大测地线射线，恒等式$({\bf E}^{{\rm dd^{c}}\psi_{Q}})^{\prime\infty}(\Phi) = ({\bf E}^{Q_{\mathbb{C}}})^{\rm NA}(\Phi_{\rm NA})$成立。