[论文解读] Geodesics in heat: A new approach to computing distance based on heat flow

Keenan Crane, Clarisse Weischedel+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 8, 2013

3D Shape Modeling and Analysis参考文献 35被引用 317

一句话总结

本文提出了一种称为 'Geodesics in Heat' 的测地线距离计算方法，该方法利用热流在网格、网格和点云等各种域上高效求解测地线距离。通过求解两个标准的线性椭圆问题，该方法实现了近乎线性时间的更新，具有高精度和强鲁棒性，在速度上显著优于当前最先进的技术，同时在网格细化时收敛至精确距离。

ABSTRACT

We introduce the heat method
 for computing the geodesic distance to a
 specified subset (e.g., point or curve) of a given domain. The heat method is robust, efficient, and simple to implement since it is based on solving
 a pair of standard linear elliptic problems. The resulting systems can be prefactored once and subsequently solved in near-linear time. In practice,
 distance is updated an order of magnitude faster than with state-of-the-art
 methods, while maintaining a comparable level of accuracy. The method requires only standard differential operators and can hence be applied on
 a wide variety of domains (grids, triangle meshes, point clouds, etc.). We
 provide numerical evidence that the method converges to the exact distance
 in the limit of refinement; we also explore smoothed approximations of
 distance suitable for applications where greater regularity is required.

研究动机与目标

• 开发一种在复杂域上计算测地线距离的计算高效且鲁棒的方法。
• 解决现有测地线距离算法在非规则或非均匀域上通常较慢或不稳定的问题。
• 提供一种在保持高精度的同时，通过预因式分解的线性系统实现在近似线性时间内计算的方法。
• 通过仅使用标准微分算子，将方法的适用范围扩展到包括三角网格、网格和点云在内的多样化几何表示形式。

提出的方法

• 该方法将测地线距离计算表述为热方程的解，利用热解的梯度近似测地线距离场这一事实。
• 求解两个线性椭圆问题：首先求解稳态热方程以计算热扩散；其次求解相关系统以提取解的梯度，该梯度近似测地线距离。
• 由此产生的线性系统是对称正定的，允许高效预因式分解和快速迭代求解。
• 该方法使用标准的有限元或有限差分离散化，使其适用于非结构化网格、三角网格和点云。
• 该方法自然地处理复杂边界条件和子集（例如点或曲线），从而可从任意指定源点计算距离。
• 通过将解与核函数卷积，获得距离场的平滑近似，从而增强应用中对光滑梯度的需求。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否可以使用基于热的方法在多样化几何域上以高精度和高效率计算测地线距离？
• RQ2 与当前最先进的测地线距离算法相比，该热方法在速度和精度方面的表现如何？
• RQ3 随着网格或网格的细化，该方法在多大程度上收敛至精确的测地线距离？
• RQ4 是否可以仅使用标准微分算子，将该方法推广至非网格域（如点云）？
• RQ5 从热解中导出的平滑距离近似在需要规则性的应用中具有哪些实际优势？

主要发现

• 通过热方法计算的测地线距离在网格细化的极限下收敛至精确解，表现出理论一致性。
• 该方法实现的距离更新速度比当前最先进的方法快一个数量级，同时保持了相当的精度。
• 通过使用预因式分解的线性系统，实现了近似线性时间的解算，仅需一次初始设置阶段。
• 由于依赖于标准微分算子，该方法在各种域（包括非结构化网格、三角网格和点云）上均表现出强鲁棒性。
• 从热解中导出的平滑距离近似提供了更高的规则性，使其适用于需要光滑梯度的应用。
• 通过在多样化几何输入上进行大量数值实验，验证了该方法的效率和精度。