[论文解读] Geodesics in stationary spacetimes. Application to Kerr spacetime

José Luis Flores, Miguel Sánchez|ArXiv.org|Jun 20, 2001

Advanced Differential Geometry Research参考文献 16被引用 8

一句话总结

本文推导了静止时空中的Levi-Civita联络和测地线方程的一般公式，扩展了扭曲积形式体系。将其应用于Kerr时空，证明除在$a = 0$（即Schwarzschild极限）情形外，Kerr时空（$a \neq 0$）及其正则化区域$M^a_\epsilon$均非测地连通，而该极限情形下的测地连通性可通过与变分法不同的拓扑论证得以证明。

ABSTRACT

The Levi-Civita connection and geodesic equations for a stationary spacetime are studied in depth. General formulae which generalize those for warped products are obtained. These results are applicated to some regions of Kerr spacetime previously studied by using variational methods. We show that they are neither space-convex nor geodesically connected. Moreover, the whole stationary part of Kerr spacetime is not geodesically connected, except when the angular momentum is equal to zero (Schwarzschild spacetime).

研究动机与目标

• 将Levi-Civita联络和测地线方程在静止时空中的形式推广至超越扭曲积结构的情形。
• 分析Kerr时空静止区域的测地连通性，特别是针对$a \neq 0$的情形。
• 提供一种非变分的、基于拓扑的Schwarzschild时空（$a = 0$）测地连通性的证明。
• 确立$M^a_\epsilon$区域非空间凸性，表明基于凸性的测地连通性证明失效。
• 证明标准变分法在Kerr时空因边界奇点而失效，需采用替代方法。

提出的方法

• 推导静止时空$M = \mathbb{R} \times M_0$中Levi-Civita联络的一般表达式，其度量为$g = -\beta dt^2 + g_R + 2\langle \delta, \cdot \rangle_R dt$。
• 推广与$t$无关函数的Hessian公式，这对分析测地连通性中的凸性至关重要。
• 将这些公式应用于Kerr时空的静止部分，重点关注$a^2 \leq m^2$的情形，并包含$a=0$（即Schwarzschild）的极限情况。
• 利用拓扑度理论（Brouwer度）证明Schwarzschild时空中点之间存在测地线，避免使用变分法。
• 分析测地线上时间差$\Delta t$与方位角变化$\Delta \varphi$的行为，表明在特定条件下$\Delta \varphi$发散。
• 构造序列$\{r^*_n\} \to 2m$，并利用积分的渐近分析，证明$\Delta \varphi \to \infty$，从而表明$\Delta \varphi = 2\pi k$的解存在。

实验结果

研究问题

• RQ1 当$a \neq 0$时，Kerr时空的静止区域是否测地连通？
• RQ2 能否通过拓扑方法而非变分技术建立Kerr时空中的测地连通性？
• RQ3 正则化区域$M^a_\epsilon$是否测地连通？其边界是否不满足空间凸性？
• RQ4 Kerr时空的标准变分法是否因边界奇点而失效？
• RQ5 Schwarzschild时空是否测地连通？能否不依赖变分法进行证明？

主要发现

• 通过直接分析测地线方程及$\Delta \varphi$的发散性，证明Kerr时空的静止部分（$a \neq 0$）非测地连通。
• 通过Hessian分析确立正则化区域$M^a_\epsilon$（$\epsilon > 0$）非空间凸性，从而排除基于凸性的测地连通性证明。
• 当$a \neq 0$时，$M^a$与$M^a_\epsilon$均非测地连通，尽管对小的$a, \epsilon$，$M^a_\epsilon$的边界在时间与光锥意义下是凸的。
• 在Schwarzschild情形（$a = 0$）下，测地连通性成立，其证明基于新颖的拓扑方法——Brouwer度理论，与变分法方法截然不同。
• 该Schwarzschild时空的证明可推广至Schwarzschild黑洞情形，此时变分法失效，通过允许$r'$在内部点$r^* \in (r_1, 2m)$处为零。
• 序列$r^*_n \to 2m$下$\Delta \varphi$的发散性意味着存在$\Delta \varphi = 2\pi k$的解（对某个$k$），从而确认在$a=0$情形下测地连通性成立。