[论文解读] Geometric Algebra Power Theory in Time Domain

Francisco G. Montoya, Javier Roldán‐Pérez+3 more|arXiv (Cornell University)|Feb 13, 2020

Power Quality and Harmonics参考文献 23被引用 4

一句话总结

本文提出了一种基于几何代数（GA）和希尔伯特变换的时域功率理论，以克服现有方法在电压畸变、负载不平衡或非线性条件下的局限性。该方法可在单相与三相系统中实现紧凑且具有物理意义的电流分解，并通过验证表明，在正弦与非正弦情况下均能准确分离有功、无功与不平衡分量。

ABSTRACT

In this paper, the power flow in electrical systems is modelled in the time domain by using Geometric Algebra and the Hilbert Transform. The use of this mathematical framework overcomes some of the limitations shown by the existing methodologies under distorted supply or unbalanced load. In such cases, the derived instantaneous active current may not be the lowest RMS current in all circuit conditions and could contain higher levels of harmonic distortion than the supply voltage. Moreover, they cannot be applied to single phase systems. The proposed method can be used for sinusoidal and non-sinusoidal power supplies, non-linear loads, single- and multi-phase systems, and it provides meaningful engineering results with a compact formulation. Several examples have been included to prove the validity of the proposed theory.

研究动机与目标

• 解决现有时域功率理论在处理电压畸变、负载不平衡与非线性问题时的局限性。
• 开发一种适用于单相与多相系统的统一框架，具备一致的工程解释。
• 在任意供电或负载条件下，实现具有物理意义的电流分解，以支持负载补偿。
• 提供一种紧凑且数学严谨的公式化表达，简化复杂电力网络中的潮流分析。

提出的方法

• 利用几何代数（GA）将电压与电流表示为具有正交基的向量空间中的多向量。
• 应用希尔伯特变换生成解析信号，实现在时域中提取正交分量与实现相位同步。
• 将瞬时功率定义为电压与电流多向量之间的几何积，将其分解为标量（有功功率）与双向量（不平衡/无功）分量。
• 通过投影推导电流分解：有功电流为 $\bm{i}_p = \frac{\bm{u}}{\|\bm{u}\|^2} M_p$，不平衡电流为 $\bm{i}_q = \bm{i} - \bm{i}_p$。
• 利用几何积 $\bm{ab} = \bm{a} \cdot \bm{b} + \bm{a} \wedge \bm{b}$ 分离标量（有功）与双向量（无功/不平衡）功率贡献。
• 将该方法应用于具有平衡与不平衡阻性负载的三相系统，通过时域电流分解与功率分量分析验证结果。

实验结果

研究问题

• RQ1 几何代数与希尔伯特变换是否能够实现一种统一的时域功率理论，适用于在任意电压与负载条件下运行的单相与多相系统？
• RQ2 当传统方法失效时，如何在时域中对电流分量进行有意义的分解，以区分有功、无功与不平衡分量？
• RQ3 在存在谐波畸变与电压不平衡的情况下，所提出的公式化方法是否仍能保持一致性和物理相关性？
• RQ4 该方法是否能准确重现标准测试案例（如平衡三相阻性负载）中的已知潮流结果？
• RQ5 几何代数中功率分解的数学结构是什么，能够支持对电流分量的工程解释？

主要发现

• 所提出的方法成功地将电流分解为有功分量 ($\bm{i}_p$) 与不平衡分量 ($\bm{i}_q$)，对于平衡阻性负载，有 $\bm{i}_p = \frac{G}{3}\bm{u}$。
• 在平衡三相阻性负载条件下，布德安努无功功率 $\bar{M}_q = 0$，且电流分解与弗雷泽电流一致，证实与现有理论的一致性。
• 不平衡电流 $\bm{i}_q$ 被证明由零序分量 ($\bm{i}_0$) 与负序分量 ($\bm{i}_-$) 组成，并为每一项推导出明确的表达式。
• 当 $U = 230$ V，$\omega = 1$ rad/s，$G = 1$ Ω 时，时域有功电流为 $i_p(t) = \frac{\sqrt{2}GU}{3} \begin{bmatrix} \cos\omega t \\ \cos(\omega t - 120^\circ) \\ \cos(\omega t + 120^\circ) \end{bmatrix}$，与预期对称值一致。
• 不平衡电流 $\bm{i}_q$ 被分解为 $\bm{i}_0 + \bm{i}_-$，其中 $\bm{i}_0$ 表示零序分量，$\bm{i}_-$ 表示负序分量。
• 该方法在所有测试条件下（包括非正弦与不平衡情况）均提供了紧凑、一致且具有物理可解释性的公式化表达。