[论文解读] Geometric and spectral properties of locally tessellating planar graphs

Matthias Keller, Norbert Peyerimhoff|ArXiv.org|May 12, 2008

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 28被引用 4

一句话总结

本文建立了局部组合曲率与局部铺砌平面图的全局几何与谱性质之间的定量关系。通过利用曲率推导出关于Cheeger常数和指数增长的界，并将其与组合Laplacian的谱底联系起来，作者们提出了基于曲率的估计，推广并改进了关于正则树和铺砌图的已知结果。

ABSTRACT

In this article, we derive bounds for values of the global geometry of locally tessellating planar graphs, namely, the Cheeger constant and exponential growth, in terms of combinatorial curvatures. We also discuss spectral implications for the Laplacians.

研究动机与目标

• 将局部组合曲率与局部铺砌平面图的全局几何不变量（如Cheeger常数和指数增长）联系起来。
• 基于曲率推导出物理Cheeger常数与组合Cheeger常数的下界。
• 为这类图的体积增长指数增长速率提供基于曲率的上界。
• 将几何界转化为组合Laplacian的谱估计，特别是谱底与本质谱部分。
• 通过曲率约束，将正则树上已知的精确谱估计推广至更一般的平面图。

提出的方法

• 在顶点和角点处通过顶点度与面度定义组合曲率，其中无穷边形被视为具有无限面度。
• 应用曲率公式 $ \kappa(v) = 1 - \frac{|v|}{2} + \sum_{f:v\in f} \frac{1}{|f|} $，将局部结构与全局不变量关联。
• 利用曲率约束推导球体大小 $ s_n $ 的递推不等式，从而得到体积增长的界。
• 建立比较原理：任意曲率下界为 $ -b $ 的图，其增长被某个正则铺砌图 $ \mathcal{G}_{p,q} $ 所控制，其中 $ p $ 为顶点度上界。
• 运用离散Laplacian的谱理论，特别是不等式 $ 1 - \sqrt{1 - \widetilde{\alpha}^2} \leq \widetilde{\lambda}_0 \leq \widetilde{\lambda}_0^{\rm ess} \leq 1 - \frac{2e^{\mu/2}}{1 + e^{\mu}} $，将Cheeger常数与增长界与谱隙联系起来。
• 通过迭代地用无穷边形和无限子树替换有限面，构造极限无限树，同时保持顶点度上界与增长速率不变。

实验结果

研究问题

• RQ1 局部曲率条件在多大程度上约束了局部铺砌平面图的指数增长速率？
• RQ2 能否利用组合曲率对Cheeger常数进行下界估计？
• RQ3 曲率界与组合Laplacian谱底之间存在何种关系？
• RQ4 基于曲率的估计与正则树中已知的精确结果相比如何？
• RQ5 在不假设正则性或有界面度的情况下，能否通过曲率控制体积增长与谱隙？

主要发现

• 物理Cheeger常数 $ \alpha(\mathcal{G}) $ 与组合Cheeger常数 $ \widetilde{\alpha}(\mathcal{G}) $ 均被涉及顶点曲率下确界的表达式从下方有界。
• 指数增长 $ \mu(\mathcal{G}) $ 被上界 $ \log(\tau + \sqrt{\tau^2 - 1}) $ 控制，其中 $ \tau = 1 + \frac{q}{q-2}b $，$ b $ 为曲率的下界，$ q $ 为最大面度。
• 若所有面均为有限面且度 $ q < \infty $，则 $ \mu(\mathcal{G}) \leq \mu(\mathcal{G}_{p,q}) = \log(\tau + \sqrt{\tau^2 - 1}) $，在正则情形下取等。
• 谱底 $ \widetilde{\lambda}_0(\mathcal{G}) $ 满足 $ 1 - \sqrt{1 - \widetilde{\alpha}^2} \leq \widetilde{\lambda}_0(\mathcal{G}) $，其中 $ \widetilde{\alpha} $ 被曲率从下方有界，从而导出基于曲率的谱隙。
• 对于曲率下界为 $ -b $ 的图，其指数增长被正则铺砌图 $ \mathcal{G}_{p,q} $ 的增长速率从上方控制，其中 $ p $ 为顶点度上界，$ q $ 为面度上界。
• 在极限情况下，任何此类图均可与顶点度上界为 $ p $ 的无限树比较，其增长速率满足 $ \mu(\mathcal{T}) \geq \mu(\mathcal{G}) $，在对称情形下可能取等。