[论文解读] Geometric Combinatorics of Transportation Polytopes and the Behavior of the Simplex Method

Edward D. Kim|arXiv (Cornell University)|Jun 11, 2010

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 231被引用 7

一句话总结

本论文研究了运输多面体的几何组合结构及其与Hirsch猜想的关联，证明了三路轴向运输多面体（具1-边际）的直径存在新的二次上界，并证明了Hirsch猜想对$p \times 2$经典运输多面体成立，尽管存在无穷多个Hirsch紧致实例。此外，论文还证明了当$n \geq 4$时，Birkhoff多面体$B_n$中存在非正则剖分，并推导出某些网络流多面体的线性直径上界。

ABSTRACT

This dissertation investigates the geometric combinatorics of convex polytopes and connections to the behavior of the simplex method for linear programming. We focus our attention on transportation polytopes, which are sets of all tables of non-negative real numbers satisfying certain summation conditions. Transportation problems are, in many ways, the simplest kind of linear programs and thus have a rich combinatorial structure. First, we give new results on the diameters of certain classes of transportation polytopes and their relation to the Hirsch Conjecture, which asserts that the diameter of every $d$-dimensional convex polytope with $n$ facets is bounded above by $n-d$. In particular, we prove a new quadratic upper bound on the diameter of $3$-way axial transportation polytopes defined by $1$-marginals. We also show that the Hirsch Conjecture holds for $p imes 2$ classical transportation polytopes, but that there are infinitely-many Hirsch-sharp classical transportation polytopes. Second, we present new results on subpolytopes of transportation polytopes. We investigate, for example, a non-regular triangulation of a subpolytope of the fourth Birkhoff polytope $B_4$. This implies the existence of non-regular triangulations of all Birkhoff polytopes $B_n$ for $n \geq 4$. We also study certain classes of network flow polytopes and prove new linear upper bounds for their diameters.

研究动机与目标

• 研究运输多面体的几何组合结构及其在线性规划中的作用。
• 分析Hirsch猜想在运输多面体背景下的有效性与边界。
• 探索Birkhoff多面体子多面体中非正则剖分的存在性与性质。
• 为特定类别的运输多面体与网络流多面体建立新的直径上界。
• 通过多面体结构分析，增进对单纯形法行为的理解。

提出的方法

• 使用几何组合方法分析经典与轴向运输多面体的顶点-面结构。
• 应用正则与非正则剖分方法，研究第四个体Birkhoff多面体$B_4$的子多面体。
• 利用对偶图与对偶多面体构造方法，通过柱面多面体构造分析Hirsch猜想。
• 利用柱面多面体的$d$-步性质，构造Hirsch猜想的反例，借助Santos的5维柱面多面体。
• 应用递归多面体构造方法（定理C.0.4），将一个5维非$d$-步柱面多面体扩展为一个43维非Hirsch多面体。
• 使用transportgen等计算工具生成并分析运输多面体及其组合性质。

实验结果

研究问题

• RQ1 Hirsch猜想是否对所有$p \times 2$经典运输多面体成立？
• RQ2 由1-边际定义的三路轴向运输多面体的直径是多少？
• RQ3 是否存在无穷多个Hirsch紧致的经典运输多面体？
• RQ4 当$n \geq 4$时，Birkhoff多面体$B_n$中是否存在非正则剖分？
• RQ5 能否为网络流多面体的直径建立线性上界？

主要发现

• Hirsch猜想对所有$p \times 2$经典运输多面体成立，尽管存在无穷多个Hirsch紧致实例。
• 为具1-边际的三路轴向运输多面体的直径建立了新的二次上界。
• 在第四个体Birkhoff多面体$B_4$中存在非正则剖分，这意味着对所有$n \geq 4$的$B_n$中也存在此类剖分。
• 某些网络流多面体的直径由关于面数的线性函数上界控制。
• 通过一个5维柱面多面体（不满足$d$-步性质）构造出一个86个面、43维且直径超过43的非Hirsch多面体，从而否定了Hirsch猜想。
• 基于Santos的构造及定理C.0.4的递归应用，该非Hirsch多面体预计拥有$10^9$至$10^{12}$个顶点。