[论文解读] Geometric comparison of phylogenetic trees with different leaf sets

Gillian Grindstaff, Megan Owen|arXiv (Cornell University)|Jul 11, 2018

Genomics and Phylogenetic Studies参考文献 19被引用 3

一句话总结

本文提出了一种几何框架，用于比较具有不同叶集的系统发育树，通过将子树拓扑扩展到一个共同的高维树空间（BHV空间），实现兼容性超树的计算，并通过松弛扩展区域测量兼容性。关键贡献是参数化松弛扩展空间，确保交集非空，并通过 $ p_{\alpha} $ 参数提供兼容性的定量度量。

ABSTRACT

The metric space of phylogenetic trees defined by Billera, Holmes, and Vogtmann, which we refer to as BHV space, provides a natural geometric setting for describing collections of trees on the same set of taxa. However, it is sometimes necessary to analyze collections of trees on non-identical taxa sets (i.e., with different numbers of leaves), and in this context it is not evident how to apply BHV space. Davidson et al. recently approached this problem by describing a combinatorial algorithm extending tree topologies to regions in higher dimensional tree spaces, so that one can quickly compute which topologies contain a given tree as partial data. In this paper, we refine and adapt their algorithm to work for metric trees to give a full characterization of the subspace of extensions of a subtree. We describe how to apply our algorithm to define and search a space of possible supertrees and, for a collection of tree fragments with different leaf sets, to measure their compatibility.

研究动机与目标

• 为解决标准BHV树空间方法无法直接分析非相同叶集的系统发育树的问题。
• 开发一种几何方法，将子树扩展到共同的树空间，以实现度量比较和超树构建。
• 表征BHV空间中子树可能扩展的子空间，特别是在松弛兼容性条件下的情况。
• 定义并计算具有不同叶集的树片段之间的兼容性度量，使用 $ p_{\alpha} $ 参数。
• 在统一的几何框架内，实现对不完整或片段化系统发育数据（如缺失分类群的基因树）的分析。

提出的方法

• 该方法使用从 $ \mathcal{T}^N $ 到 $ \mathcal{T}^\mathcal{L} $ 的树维数缩减映射 $ \Psi $，并构建其原像 $ \Psi^{-1} $，以将子树提升到共同空间。
• 它将扩展区域 $ E_{\mathbf{T}}^N(p_\alpha)_p $ 定义为在参数 $ p_\alpha \in [0,1] $ 的松弛兼容性条件下，能够扩展给定子树的 $ \mathcal{T}^N $ 中的树的集合。
• 该松弛允许边长扰动，其范围受 $ p_\alpha \cdot w_e $ 限制，即使在严格兼容性失败时也能保证扩展区域的非空交集。
• 建立线性规划以计算使扩展区域交集保持非空的最小 $ p $ 值，从而获得 $ p_\alpha $ 兼容性参数。
• 该方法利用BHV空间中的单纯形分解，处理分段线性结构，并确保扩展区域的非空性由各单纯形内的可行性决定。
• 该方法通过将其适应于度量树，推广了先前的组合算法，实现了连续的、几何的兼容性分析。

实验结果

研究问题

• RQ1 当标准BHV空间方法要求相同叶集时，如何在几何框架中对具有不同叶集的系统发育树进行有意义的比较？
• RQ2 如何几何表征子树扩展到具有共同叶集的更大树空间的所有可能扩展的集合？
• RQ3 能否定义一种松弛兼容性条件，使得即使树不严格兼容，扩展区域的交集也非空？
• RQ4 如何高效计算 $ p_\alpha $ 参数，其在度量上偏离严格兼容性的程度代表什么含义？
• RQ5 在扩展区域非空性和几何稳定性方面，$ \alpha $-松弛与 $ p_\alpha $-松弛之间存在何种关系？

主要发现

• 定义了 $ p_\alpha $ 参数为使扩展区域交集保持非空的最小松弛水平，并可通过线性规划计算。
• 对于任意树集 $ \mathbf{T} $，扩展区域 $ E_{\mathbf{T}}^N(p_\alpha)_p $ 非空，当且仅当至少有一个单纯形包含可行解，且 $ p_\alpha $ 等于所有单纯形中最小的此类 $ p $ 值。
• 当 $ p = 1 $ 时，BHV空间的锥点包含在松弛扩展区域中，保证了 $ p_{\alpha} \leq 1 $ 时的非空性，从而确保该方法始终适用。
• 当 $ p_{\alpha} < 1 $ 时，锥点被排除在扩展区域之外，从而保持与原始树结构的几何保真度。
• $ p_\alpha $ 参数被归一化到 $[0,1]$ 区间，其中 $ p_{\alpha} = 0 $ 表示严格兼容，$ p_{\alpha} = 1 $ 表示最大松弛。
• 该方法确保 $ N_\alpha \subset E_{\mathbf{T}}^N(\alpha) \subset E_{\mathbf{T}}^N(p)_p $，当 $ \alpha < \frac{p}{\log_2 N} \cdot \min_{e \in \mathbf{T}} w_e $ 时成立，从而将两种松弛方案联系起来。