[论文解读] Geometric construction of representations of affine algebras

Hiraku Nakajima|ArXiv.org|Dec 1, 2002

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 31被引用 31

一句话总结

本文通过 $γ$-固定点分支在 $\mathbf{C}^2$ 上的希尔伯特概形中的上同调与等变 $K$-同调，构建了仿射李代数与量子丛李代数的表示，通过瞬子与 quiver 变换的模空间实现了这些代数的几何实现。关键结果是利用这些模空间中各层的交上同调群，给出了不可约表示的特征公式。

ABSTRACT

Let $Γ$ be a finite subgroup of $\SL_2(\C)$. We consider $Γ$-fixed point sets in Hilbert schemes of points on the affine plane $\C^2$. The direct sum of homology groups of components has a structure of a representation of the affine Lie algebra $\ag$ corresponding to $Γ$. If we replace homology groups by equivariant $K$-homology groups, we get a representation of the quantum toroidal algebra $\Ut$. We also discuss a higher rank generalization and character formulas in terms of intersection homology groups.

研究动机与目标

• 通过 $γ$-固定点分支在 $\mathbf{C}^2$ 上的希尔伯特概形中的上同调，几何实现与有限子群 $\Gamma \subset \mathrm{SL}_2(\mathbf{C})$ 相关的仿射李代数 $\widehat{\mathfrak{g}}$ 的表示。
• 将此构造推广至量子丛李代数 $\mathbf{U}_q(\mathbf{L}\widehat{\mathfrak{g}})$ 的表示，使用等变 $K$-同调。
• 将构造推广至高秩情形，并通过交上同调群提供特征公式。
• 通过将 $\widehat{\mathfrak{g}}$ 的表示理论与模空间的拓扑相联系，建立 McKay 对应的几何对应。

提出的方法

• 利用最小解析解剖 $\pi: M \to \mathbf{C}^2/\Gamma$ 将例外除数与单李代数 $\mathfrak{g}$ 的 Dynkin 图联系起来，从而与 $\widehat{\mathfrak{g}}$ 关联。
• 构造 $\Gamma$-不变子概形的希尔伯特概形 $\operatorname{Hilb}^n(\mathbf{C}^2)^\Gamma$，并分析其 $\Gamma$-固定点分支。
• 通过几何 Satake 对应与卷积代数，将这些分支的上同调群的直和赋予 $\widehat{\mathfrak{g}}$-模结构。
• 将上同调替换为等变 $K$-同调，以获得量子丛李代数 $\mathbf{U}_q(\mathbf{L}\widehat{\mathfrak{g}})$ 的表示。
• 应用局部化定理与陈示性类，将等变 $K$-理论与上同调联系起来，从而实现特征公式。
• 利用映射 $\pi: \mathfrak{M}(\mathbf{w})^A \to \mathfrak{M}_0(\infty,\mathbf{w})^A$ 的分解定理，将上同调群表示为交上同调层的组合。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何从 $\mathbf{C}^2$ 上 $\Gamma$-不变点的希尔伯特概形中几何构造仿射李代数 $\widehat{\mathfrak{g}}$ 的表示？
• RQ2 量子丛李代数 $\mathbf{U}_q(\mathbf{L}\widehat{\mathfrak{g}})$ 的几何起源是什么，其与 $\Gamma$-等变 $K$-同调有何关系？
• RQ3 模空间中各层的交上同调群如何编码 $\mathbf{U}_q(\mathbf{L}\widehat{\mathfrak{g}})$ 不可约表示的特征？
• RQ4 标准模分解为不可约商模的过程能否通过几何数据（如交上同调层）表达？

主要发现

• 希尔伯特概形 $\operatorname{Hilb}^n(\mathbf{C}^2)$ 中 $\Gamma$-固定点分支的上同调群的直和，自然地赋予了与 $\Gamma$ 相关的仿射李代数 $\widehat{\mathfrak{g}}$ 的作用。
• 将上同调替换为等变 $K$-同调，可得到量子丛李代数 $\mathbf{U}_q(\mathbf{L}\widehat{\mathfrak{g}})$ 的表示。
• 与权 $\mathbf{w}$ 相关的标准模同构于固定点集 $\mathfrak{M}(\mathbf{w})^A$ 中原点纤维的上同调，且是基本表示的张量积的商模。
• 不可约表示的特征由对各层 $\mathcal{O}_y$ 的求和给出，即 $i_x^!\mathrm{IC}(\mathcal{O}_y)$ 的交上同调与不可约商模 $L_y$ 的张量积。
• $H^*(i_x^!\mathrm{IC}(\mathcal{O}_y))$ 的维数可通过组合算法计算，尽管实际计算对内存要求较高。
• 当 $w_0 = 0$ 时，该构造可推广至量子循环代数 $\mathbf{U}_q(\mathbf{L}\mathfrak{g}})$，且标准模可分解为基本表示的张量积。