[论文解读] Geometric construction of the r-map: from affine special real to special Kähler manifolds

Dmitri V. Alekseevsky, Vicente Cortés|ArXiv.org|Nov 11, 2008

Geometry and complex manifolds参考文献 5被引用 5

一句话总结

本文通过切丛构造，提供了r映射的内在几何实现，将仿射特殊实流形映射到特殊凯勒流形。证明了任意仿射特殊实流形的切丛自然携带一个规范的特殊凯勒结构，通过Hessian几何与联络实现了r映射的几何实现，并确立了具有正定度量的紧致单连通特殊实流形不存在。

ABSTRACT

We give an intrinsic definition of (affine very) special real manifolds and realise any such manifold $M$ as a domain in affine space equipped with a metric which is the Hessian of a cubic polynomial. We prove that the tangent bundle $N=TM$ carries a canonical structure of (affine) special Kähler manifold. This gives an intrinsic description of the $r$-map as the map $M\mapsto N=TM$. On the physics side, this map corresponds to the dimensional reduction of rigid vector multiplets from 5 to 4 space-time dimensions. We generalise this construction to the case when $M$ is any Hessian manifold.

研究动机与目标

• 通过平坦、无扭转的联络∇和∇-平行的全对称张量S = ∇g，提供仿射特殊实流形的内在定义。
• 证明任意单连通仿射特殊实流形可仿射嵌入R^n，使得度量g为一个三次多项式h的Hessian，且(V,h)在仿射变换下唯一。
• 为任意仿射特殊实流形(M,g,∇)的切丛TM构造一个规范的特殊凯勒结构(J, g^N, ∇^N)，从而几何地实现r映射。
• 将r映射构造推广到Hessian流形，并刻画结果结构为平坦且特殊凯勒的条件。
• 利用完备性与仿射代数曲面理论，证明不存在具有正定度量的紧致单连通特殊实流形。

提出的方法

• 将仿射特殊实流形定义为具有平坦、无扭转联络∇的伪黎曼流形(M,g)，使得S = ∇g为全对称且∇-平行。
• 证明任意单连通仿射特殊实流形可仿射嵌入R^n，使得g为三次多项式h的Hessian的拉回，且(V,h)在仿射变换下唯一。
• 利用M的几何数据(g, ∇)在切丛N = TM上构造一个规范的特殊凯勒结构(J, g^N, ∇^N)。
• 证明∇^N平坦且特殊（即∇^N J对称）当且仅当(M,g,∇)为特殊实，且此时TM上的结果结构为Hessian当且仅当M为特殊实。
• 利用特殊凯勒流形N = TM上存在自由全纯且等距的R^n作用，其轨道为拉格朗日子流形，通过商空间重建M为N/R^n。
• 应用Calabi-Pogorelov定理，证明N上的度量g^N完备且存在二次Hessian势函数，从而推出∇^N与Levi-Civita联络重合。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在不依赖预势函数的前提下，内在地定义从仿射特殊实流形到特殊凯勒流形的r映射？
• RQ2 在仿射特殊实流形(M,g,∇)的切丛TM上，何种几何结构实现了r映射作为规范构造？
• RQ3 当r映射构造推广到Hessian流形时，其保持平坦性与特殊凯勒性质的条件是什么？
• RQ4 能否利用几何与曲率论证证明不存在具有正定度量的紧致单连通特殊实流形？
• RQ5 从目标特殊凯勒流形的几何与拓扑性质出发，r映射的像由何种特征刻画？

主要发现

• 任意单连通仿射特殊实流形(M,g,∇)可仿射嵌入R^n，使得度量g为三次多项式h的Hessian，且(V,h)在仿射变换下唯一。
• 任意仿射特殊实流形M的切丛N = TM携带一个规范的特殊凯勒结构(J, g^N, ∇^N)，从而几何地实现了r映射。
• N上的联络∇^N平坦当且仅当(M,g,∇)为特殊实；否则，∇^N不平坦。
• 结果流形(N,J,g^N,∇^N)为Hessian当且仅当(M,g,∇)为特殊实。
• g^N的Levi-Civita联络与∇^N重合当且仅当(M,g,∇)为特殊实，此时∇^N平坦且无扭转。
• 不存在正维数且具有正定度量的紧致单连通特殊实流形，因为TM上诱导的度量完备，通过Calabi-Pogorelov定理导致矛盾。