[论文解读] Geometric dimension of lattices in classical simple Lie groups

Javier Aramayona, Dieter Degrijse+2 more|arXiv (Cornell University)|Apr 10, 2015

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 30被引用 4

一句话总结

该论文证明了对于经典单李群中的格 Γ，其适当的几何维数 𝗱(Γ) 等于其虚拟上同调维数 𝗩𝗖𝗗(Γ)，从而解决了这类群长期存在的一个问题。通过使用Bredon上同调与Borel-Serre边界化方法，作者表明群 G 的对称空间在 Γ-等变同伦等价下同伦于一个维数为 𝗩𝗖𝗗(Γ) 的余紧 Γ-CW 复形，从而确立了此类格的几何维数与上同调维数相等。

ABSTRACT

We prove that if $Γ$ is a lattice in a classical simple Lie group $G$, then the symmetric space of $G$ is $Γ$-equivariantly homotopy equivalent to a proper cocompact $Γ$-CW complex of dimension the virtual cohomological dimension of $Γ$.

研究动机与目标

• 确定经典单李群中格 Γ 的适当几何维数 𝗱(Γ) 是否等于其虚拟上同调维数 𝗩𝗖𝗗(Γ)。
• 扩展已知满足 𝗱(Γ) = 𝗩𝗖𝗗(Γ) 的群的列表，特别是针对经典单李群中的格。
• 确立此类群 G 的对称空间 Γ-等变同伦等价于一个维数为 𝗩𝗖𝗗(Γ) 的余紧 Γ-CW 复形。
• 使用 Bredon 上同调作为代数工具，以计算并比较这些格的 𝗱(Γ) 与 𝗩𝗖𝗗(Γ)。

提出的方法

• 将 Bredon 上同调用作适当几何维数的代数对应物，目标是通过证明 Bredon 上同调维数与虚拟上同调维数相等，从而证明 𝗱(Γ) = 𝗩𝗖𝗗(Γ)。
• 利用对称空间 S = G/K 的 Borel-Serre 边界化空间 X 作为 𝔼Γ 的余紧模型，该空间是具有有限稳定子群的 Γ-CW 复形。
• 通过 Borel 与 Serre 的结果，将 𝗩𝗖𝗗(Γ) 计算为使得紧支集上同调 Hⁿ_c(X) 非平凡的最大 n。
• 应用 Schanuel 引理与同调代数技巧，构造常值函子 ℤ 在 O_FINΓ 模范畴中的有限自由解析。
• 利用长度为 𝗩𝗖𝗗(Γ) 的解析，构造一个维数为 𝗩𝗖𝗗(Γ) 的余紧 Γ-CW 复形，借助 [26] 与 [23] 的结果。
• 通过逐类分析验证每种经典单李群的情形下 𝗱(Γ) = 𝗩𝗖𝗗(Γ)，并针对每种类型（如 SL(n,ℂ)、Sp(2n,ℝ)、SU(p,q) 等）使用特定引理。

实验结果

研究问题

• RQ1 经典单李群中格 Γ 的适当几何维数 𝗱(Γ) 是否等于其虚拟上同调维数 𝗩𝗖𝗗(Γ)？
• RQ2 对称空间 S = G/K 是否 Γ-等变同伦等价于一个维数为 𝗩𝗖𝗗(Γ) 的余紧 Γ-CW 复形？
• RQ3 对于哪些经典单李群，其格 Γ 满足 𝗱(Γ) = 𝗩𝗖𝗗(Γ)，且能否通过 Bredon 上同调实现统一证明？
• RQ4 当 𝗱(Γ) = 𝗩𝗖 Domingo 时，S 的 Borel-Serre 边界化空间 X 是否适合作为 𝔼Γ 的最小维余紧模型？
• RQ5 能否使用统一的上同调方法在所有经典单李群中建立 𝗱(Γ) = 𝗩𝗖 Domingo？

主要发现

• 对于经典单李群 G 中的每个格 Γ，其适当几何维数 𝗱(Γ) 等于其虚拟上同调维数 𝗩𝗖𝗗(Γ)。
• 对称空间 S = G/K 在 Γ-等变同伦等价下同伦于一个维数为 𝗩𝗖𝗗(Γ) 的适当余紧 Γ-CW 复形。
• S 的 Borel-Serre 边界化空间 X 作为 𝔼Γ 的余紧模型，其在轨道范畴上的胞腔链复形允许构造长度为 𝗩𝗖𝗗(Γ) 的解析。
• 对于所有经典类型——SL(n,ℂ)、SO(n,ℂ)、Sp(2n,ℂ)、SL(n,ℝ)、SL(n,ℍ)、SO(p,q)、SU(p,q)、Sp(p,q)、Sp(2n,ℝ) 与 SO*(2n)——通过逐类引理确立了 𝗱(Γ) = 𝗩𝗖 Domingo。
• 该证明依赖于证明 Bredon 胞腔链复形中第 (d-1) 个边界映射的核是稳定自由的，从而可构造长度为 𝗩𝗖 Domingo 的有限自由解析。
• 该结果对所有经典单李群中的格均成立，包括均匀与非均匀情形，解决了这一广泛群类的几何维数问题。