[论文解读] Geometric Dynamics of a Harmonic Oscillator, Non-Admissible Mother Wavelets and Squeezed States

Fadhel Almalki, Vladimir V. Kisil|arXiv (Cornell University)|May 3, 2018

Quantum Mechanics and Non-Hermitian Physics被引用 3

一句话总结

本文提出了一种几何方法，通过将谐振子的薛定谔方程重新表述为高维空间中的首阶偏微分方程（PDE），并利用从剪切群（shear group）导出的相干态变换进行约束，从而求解该方程。研究表明，任意最小不确定度态均可作为几何解的参考向量（fiducial vector）——这与海森堡群（Heisenberg group）必须使用特定参考向量不同——同时通过修改相干态变换，解决了非平方可积表示的问题。

ABSTRACT

The paper presents a new method of geometric solution of a Schrodinger equation by a construction of an equivalent first-order partial differential equation with a bigger number of variables. The equivalent equation shall be restricted to a specific subspace with auxiliary conditions which are obtained from a coherent state transform. The method is applied to the fundamental case of the harmonic oscillator and coherent state transform generated by the minimal nilpotent step three Lie group---the shear group (also known as quartic group in literature). We obtain a geometric solution for an arbitrary minimal uncertainty state used as a fiducial vector. In contrast, it is shown that the well-known Fock--Segal--Bargmann transform and the Heisenberg group require the specific fiducial vector to produce a geometric solution. A technical aspect considered in this paper is that the representation of the shear group is not square-integrable and a respective modification of a coherent state transform is required.

研究动机与目标

• 开发一种利用高维首阶偏微分方程求解薛定谔方程的几何方法。
• 将几何解的框架扩展至任意最小不确定度态，克服标准相干态变换的局限性。
• 通过修改相干态变换，解决剪切群表示非平方可积带来的挑战。
• 阐明参考向量在何种条件下能产生几何解，对比剪切群与海森堡群的差异。

提出的方法

• 通过扩展原始薛定谔方程，在更高维空间中构造一个等价的首阶偏微分方程。
• 施加源自最小幂零阶三步李群（即剪切群）相干态变换的辅助条件。
• 将解限制在由这些辅助条件定义的子空间中，以恢复原始物理解。
• 利用剪切群的结构，定义适用于非平方可积表示的修改版相干态变换。
• 将该方法应用于以任意最小不确定度态作为参考向量的谐振子。
• 证明该方法对所有此类态均能产生几何解，而Fock–Segal–Bargmann变换则要求特定参考向量。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否使用高维首阶偏微分方程，为任意最小不确定度态构造薛定谔方程的几何解？
• RQ2 在相干态框架中，参考向量的选择如何影响几何解的存在性？
• RQ3 当群表示非平方可积时，相干态变换需要进行何种修改？
• RQ4 为何海森堡群需要特定参考向量才能产生几何解，而剪切群则不需要？
• RQ5 剪切群的结构在实现一般压缩态的几何解中起到何种作用？

主要发现

• 该方法成功地通过高维空间中的等价首阶偏微分方程，为谐振子构造了几何解。
• 当使用剪切群的相干态变换时，任意最小不确定度态均可作为几何解框架中的参考向量。
• Fock–Segal–Bargmann变换与海森堡群要求特定参考向量才能产生几何解，而剪切群则无此限制。
• 由于剪切群的表示非平方可积，必须采用修改版相干态变换，本文中已明确构造出该变换。
• 该几何解对剪切群生成的所有压缩态均有效，表明其适用范围广于标准方法。
• 该方法揭示了在相干态变换与几何量子化背景下，剪切群与海森堡群之间存在结构性差异。