[论文解读] Geometric Embedding of Path and Cycle Graphs in Pseudo-convex Polygons

Hamid Hoorfar, Alireza Bagheri|arXiv (Cornell University)|Aug 4, 2017

Computational Geometry and Mesh Generation参考文献 15被引用 9

一句话总结

本文提出了在凸多边形和伪凸多边形中几何嵌入最大规模路径图和环图的 O(n) 时间算法，利用可视性性质和线性遍历确保平面直线嵌入。主要贡献是为包含所有凹顶点的伪凸多边形中的哈密顿环提供了线性时间解法。

ABSTRACT

Given a graph $ G $ with $ n $ vertices and a set $ S $ of $ n $ points in the plane, a point-set embedding of $ G $ on $ S $ is a planar drawing such that each vertex of $ G $ is mapped to a distinct point of $ S $. A straight-line point-set embedding is a point-set embedding with no edge bends or curves. The point-set embeddability problem is NP-complete, even when $ G $ is $ 2 $-connected and $ 2 $-outerplanar. It has been solved polynomially only for a few classes of planar graphs. Suppose that $ S $ is the set of vertices of a simple polygon. A straight-line polygon embedding of a graph is a straight-line point-set embedding of the graph onto the vertices of the polygon with no crossing between edges of graph and the edges of polygon. In this paper, we present $ O(n) $-time algorithms for polygon embedding of path and cycle graphs in simple convex polygon and same time algorithms for polygon embedding of path and cycle graphs in a large type of simple polygons where $n$ is the number of vertices of the polygon.

研究动机与目标

• 开发用于在凸多边形和伪凸多边形中几何嵌入路径图和环图的高效算法。
• 确保平面直线嵌入，其中顶点仅映射到多边形顶点，且边不与多边形边交叉。
• 将现有的点集可嵌入性结果扩展到具有几何约束的结构化多边形域。
• 证明在伪凸多边形中最大规模环嵌入可在线性时间内计算。

提出的方法

• 利用伪凸多边形的性质：所有凹顶点对其邻接顶点可见，且不存在 U 形转折顶点。
• 以逆时针顺序遍历多边形顶点，选择子集构成包含所有凹顶点的环。
• 应用线性时间遍历策略，通过确保所有边均为多边形的弦来维持平面性。
• 用包含凹顶点的新边替换候选环中的现有边，同时保持平面性和环的大小。
• 利用可视性和凸性保证所选所有边均为无交叉的直线段。
• 通过反证法证明所得环为最大且平面：若省略任意凹顶点将与最大性矛盾。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否可以在 O(n) 时间内，使用直线边且无交叉地在凸多边形中嵌入最大规模的路径图和环图？
• RQ2 是否可能在伪凸多边形中以线性时间嵌入包含所有凹顶点的环？
• RQ3 伪凸多边形的哪些结构特性使得线性时间环嵌入算法成为可能？
• RQ4 如何利用可视性和凸性在环构建过程中保持平面性？
• RQ5 伪凸多边形中不存在 U 形转折顶点是否允许实现高效且最优的环嵌入？

主要发现

• 存在一个 O(n) 时间算法，用于在具有 n 个顶点的凸多边形中嵌入最大规模的环图。
• 该算法确保伪凸多边形的所有凹顶点均被包含在嵌入环中，且无边交叉。
• 在伪凸多边形中，最大规模环可在线性时间构造，同时保持平面性和直线边。
• 该方法证明了通过边替换，总能在伪凸多边形中构造出包含所有凹顶点的环。
• 该算法通过使用基于可视性和凸性的逆时针遍历策略，保持了线性时间复杂度。
• 本文确立了对于一般简单多边形，该问题仍为开放问题，尽管怀疑其为 NP-难。