[论文解读] Geometric Generalization of Neural Operators from Kernel Integral Perspective

Mingyu Han, Daniel Zhengyu Huang+3 more|arXiv (Cornell University)|Feb 2, 2026

Model Reduction and Neural Networks被引用 0

一句话总结

本文将变几何上的神经算子学习重新表述为学习几何相关的奇异核算子，并引入具有基于核的层和理论保证的多尺度神经算子。

ABSTRACT

Neural operators are neural network-based surrogate models for approximating solution operators of parametric partial differential equations, enabling efficient many-query computations in science and engineering. Many applications, including engineering design, involve variable and often nonparametric geometries, for which generalization to unseen geometries remains a central practical challenge. In this work, we adopt a kernel integral perspective motivated by classical boundary integral formulations and recast operator learning on variable geometries as the approximation of geometry-dependent kernel operators, potentially with singularities. This perspective clarifies a mechanism for geometric generalization and reveals a direct connection between operator learning and fast kernel summation methods. Leveraging this connection, we propose a multiscale neural operator inspired by Ewald summation for learning and efficiently evaluating unknown kernel integrals, and we provide theoretical accuracy guarantees for the resulting approximation. Numerical experiments demonstrate robust generalization across diverse geometries for several commonly used kernels and for a large-scale three-dimensional fluid dynamics example.

研究动机与目标

• 在具有非参数、可变几何的域上，推动参数化偏微分方程的代理建模。
• 通过学习几何相关的奇异核来阐明几何泛化。
• 开发一个高效处理点云上核积分的多尺度神经算子。
• 为学习和评估基于核的算子提供理论精度保证。
• 在多样几何和一个大规模三维流体动力学示例中展示几何泛化的鲁棒性。

提出的方法

• 采用受边界积分方法启发的核积分视角来表示几何相关算子。
• 通过类似Ewald的多尺度分解将奇异核分解为长程傅里叶分量和短程局部近似。
• 设计实现长程基于傅里叶的核和的可学习权重的神经层，以及通过几何矩特征的短程修正。
• 将变几何表示为点云，直接对在这些云上定义的函数进行运算。
• 引入一个多尺度点云神经层，将长程和短程算子在残差网络中结合。
• 通过用几何特征增强输入并应用多层可学习层（线性与点数相关的成本）来构建多尺度点云神经算子（M-PCNO）。

实验结果

研究问题

• RQ1 神经算子如何通过学习几何相关的核算子在未见几何上实现泛化？
• RQ2 在神经算子体系中对奇异核积分的可证明框架与误差行为是什么？
• RQ3 一个多尺度、基于点云的算子是否能在可变域上的 PDE 求解算子学习中实现高效且准确？
• RQ4 把边界几何（法线、曲率）纳入是否会影响边界-积分启发式核的算子学习？

主要发现

• 提出一个用于奇异核积分的通用逼近框架，其利用类似于Ewald求和的多尺度分解。
• 引入具有点数线性计算成本的 M-PCNO，并在多样几何上提供几何泛化的证据。
• 在常用核和一个大规模三维流体动力学示例上显示该方法的鲁棒性。
• 给出长程傅里叶近似和短程局部近近的理论误差界。
• 证明几何感知的点云表示能够在不进行显式几何参数化的情况下实现有效学习。