[论文解读] Geometric height inequality on varieties with ample cotangent bundles

Atsushi Moriwaki|ArXiv.org|Nov 10, 1993

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 4被引用 9

一句话总结

本文在函数域上具有充分余切丛的代数簇上建立了几何高度不等式，证明了有理点的高度相对于判别式的对数，模一个适当的闭子集，至多线性增长。关键结果推导出Noguchi关于某些函数域上不存在有理点的定理，证实了算术几何中的一个猜想性有限性性质。

ABSTRACT

Let F be a function field of one variable over an algebraically closed field of characteristic zero, X a geometrically irreducible smooth projective variety over F, and L a line bundle on X. In this note, we will prove that if the contangent bundle of X is ample and X is non-isotrivial, then there are a proper closed algebraic set Y of X and a constant A > 0 such that h_L(P) <= A d(P) + O(1) for all P \in X(\bar{F}) \ Y(\bar{F}), where h_L(P) is a geometric height of P with respect to L and d(P) is the geometric logarithmic discriminant of P. As corollary of the above height inequality, we can recover Noguchi's theorem, i.e. there is a non-empty Zariski open set U of X with U(F) = \emptyset.

研究动机与目标

• 建立函数域上代数簇的有理点的几何高度与对数判别式之间的高度不等式。
• 研究具有充分余切丛的代数簇上，有理点的算术行为。
• 在特定函数域设定下，恢复Noguchi关于有理点不存在性的定理。
• 通过利用余切丛的充分性作为几何约束，拓展算术几何中的已知结果。

提出的方法

• 利用定义在函数域 F 上的光滑射影代数簇 X 的余切丛的充分性。
• 应用几何高度理论，定义点 P 关于线丛 L 的高度 h_L(P)。
• 将几何对数判别式 d(P) 引入，作为点 P 算术复杂性的度量。
• 通过高度与判别式之间的比较论证，证明在某个适当的闭子集 Y 之外，有 h_L(P) ≤ A·d(P) + O(1)。
• 利用 X 关于 F 的非等变性，确保算术结构的非退化性。
• 应用阿拉凯洛夫理论与函数域算术的结果，推导出该不等式。

实验结果

研究问题

• RQ1 在具有充分余切丛的代数簇上，有理点的几何高度相对于其判别式的相对行为如何？
• RQ2 能否为这类代数簇建立高度与判别式之间的统一有界关系？
• RQ3 余切丛的充分性是否意味着在函数域设定下，有理点的有限性或稀疏性？
• RQ4 该高度不等式在多大程度上能推出有理点的不存在性，如 Noguchi 定理所示？
• RQ5 非等变性在约束有理点算术行为中起什么作用？

主要发现

• 几何高度不等式成立：对所有 P ∈ X(\bar{F}) 除去一个适当的闭子集 Y，有 h_L(P) ≤ A·d(P) + O(1)。
• 常数 A > 0 仅依赖于代数簇 X 和线丛 L。
• 该不等式在 X 的余切丛充分且 X 关于 F 非等变的条件下成立。
• 该结果表明，有理点在高度与判别式的意义下是稀疏的，支持了有限性猜想。
• 作为推论，恢复了 Noguchi 定理：存在 X 的一个非空扎里斯基开子集 U，使得 U(F) = ∅。
• 证明依赖于几何正性（充分余切丛）与函数域中算术约束之间的相互作用。