[论文解读] Geometric inequalities, stability results and Kendall's problem in spherical space

Daniel Hug, Andreas Reichenbacher|arXiv (Cornell University)|Sep 19, 2017

Point processes and geometric inequalities参考文献 33被引用 5

一句话总结

本文建立了球面空间中球凸体的几何不等式与稳定性结果，使我们能够分析随机球面Poisson-Voronoi剖分中典型胞腔的渐近形状。研究证明，随着强度γₛ增大，典型胞腔会集中在球面帽附近，偏离概率以γₛ和ε^(d+1)/2为指数衰减，从而解决了Kendall关于形状收敛的猜想在球面情形的类比问题。

ABSTRACT

In Euclidean space, the asymptotic shape of large cells in various types of Poisson driven random tessellations has been the subject of a famous conjecture due to David Kendall. Since shape is a geometric concept and large cells are identified by means of geometric size functionals, the resolution of the conjecture is inevitably connected with geometric inequalities of isoperimetric type and their improvements in the form of geometric stability results, relating geometric size functionals and hitting functionals. The latter are deterministic characteristics of the underlying random tessellation. The current work explores specific and typical cells of random tessellations in spherical space. A key ingredient of our approach are new geometric inequalities and quantitative strengthenings in terms of stability results for quite general and some specific size and hitting functionals of spherically convex bodies. As a consequence we obtain probabilistic deviation inequalities and asymptotic distributions of quite general size functionals. In contrast to the Euclidean setting, where the asymptotic regime concerns large size, in the spherical framework the asymptotic analysis is concerned with high intensities.

研究动机与目标

• 将Kendall关于随机剖分中大胞腔渐近形状的猜想推广至球面情形。
• 为球凸体的大小与击中泛函建立新的几何不等式与定量稳定性结果。
• 推导一般大小泛函在球面Poisson-Voronoi剖分中的概率偏离不等式与渐近分布。
• 刻画在高密度Poisson过程下球面空间中典型胞腔的极限形状。

提出的方法

• 利用球面内切球半径与角宽度泛函，推导球凸体的几何不等式。
• 引入稳定性结果，将几何大小泛函与底层剖分过程的击中泛函关联。
• 应用球面Crofton胞腔理论与Poisson过程强度γₛ，对球面Voronoi剖分的典型胞腔建模。
• 通过到原点的距离，引入球面Voronoi胞腔与球面超平面剖分之间的变换关系。
• 利用球面帽测度与与强度相关的击中概率，获得指数尾部界。
• 采用球面内切球半径r₀(Z)与角宽度ϑ₀(Z)作为关键大小泛函，量化形状集中性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在高强度γₛ下，球面Poisson-Voronoi剖分的典型胞腔行为如何？
• RQ2 在高维球面上，球凸体的几何不等式与稳定性结果由什么决定？
• RQ3 Kendall关于形状收敛于圆/球形的猜想能否推广至球面空间？
• RQ4 以几何与概率泛函衡量，典型胞腔收敛于球面帽的速率如何？
• RQ5 如内切球半径与角宽度等大小泛函如何与底层Poisson过程的强度相关？

主要发现

• 典型胞腔Z的内切球半径r₀(Z) ≥ a的概率衰减为exp(−γₛσ_d(B(0,2a)))，将强度与空间集中性联系起来。
• 对于ε ∈ (0,1]，在r₀(Z) ≥ a的条件下，球面内切球半径与外接球半径相差至少ε的条件概率被有界为c₁₅ exp(−c₁₆ε^(d+1)/2 γₛ)。
• 常数c₁₆ ≥ π^(-4d) ω_d a^(d−1) (min{a, π/2−a})^(d−1)，表明当a与d较大时集中性更强。
• 稳定性结果表明，若胞腔具有较大的内切球半径与足够的角宽度，则其球面内切球半径接近其外接球半径，意味着形状规则性。
• 非各向同性的球面超平面过程的球面Crofton胞腔，其强度测度为γₛω_d₊₁μ(⋅)，可建模典型Voronoi胞腔，从而实现精确的分布分析。
• 该方法建立了Kendall问题的球面类比，表明当强度γₛ → ∞时，形状收敛于球面帽。