[论文解读] Geometric Integration Over Irregular Domains with topologic Guarantees

Christian Engwer, Andreas Nüßing|arXiv (Cornell University)|Jan 14, 2016

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics参考文献 17被引用 5

一句话总结

本文提出了一种针对由水平集函数定义的不规则区域的拓扑保持几何积分方法。通过使用改进的移动立方体算法并结合面测试与中心测试，该方法确保了切割单元的拓扑一致多面体重建，从而在有限元方法中实现二阶精度的积分，同时对网格扰动和方向变化保持鲁棒性。

ABSTRACT

Implicitly described domains are a well established tool in the simulation of time dependent problems, e.g. using level-set methods. In order to solve partial differential equations on such domains, a range of numerical methods was developed, e.g. the Immersed Boundary method, Unfitted Finite Element or Unfitted discontinuous Galerkin methods, eXtended or Generalised Finite Element methods, just to name a few. Many of these methods involve integration over cut-cells or their boundaries, as they are described by sub-domains of the original level-set mesh. We present a new algorithm to geometrically evaluate the integrals over domains described by a first-order, conforming level-set function. The integration is based on a polyhedral reconstruction of the implicit geometry, following the concepts of the Marching Cubes algorithm. The algorithm preserves various topological properties of the implicit geometry in its polyhedral reconstruction, making it suitable for Finite Element computations. Numerical experiments show second order accuracy of the integration. An implementation of the algorithm is available as free software, which allows for an easy incorporation into other projects. The software is in productive use within the DUNE framework.

研究动机与目标

• 解决使用水平集函数隐式定义区域时几何积分中的拓扑不一致性问题。
• 即使在病态情况下，也确保切割单元和界面的多面体重建具有拓扑正确性。
• 开发一种方法，使三维体积三角剖分与其二维面三角剖分之间保持一致性。
• 在保持拓扑保证的前提下，实现几何积分的二阶精度。
• 与标准移动立方体相比，将性能开销最小化，尤其是在真实平滑数据条件下的表现。

提出的方法

• 通过引入面测试和中心测试，将移动立方体算法适配到六面体网格，以解决拓扑歧义问题。
• 利用体积三角剖分和面三角剖分，构建水平集定义区域的内部、外部和界面的一致多面体表示。
• 使用包含预计算测试的查找表处理歧义情况，包括跨面和单元的对角顶点连通性检查。
• 使用C++实现算法，并通过Python驱动的代码生成提高可维护性和可扩展性。
• 通过强制要求从三维体积导出的面三角剖分与直接对面上应用二维算法的结果一致，确保拓扑一致性。
• 支持多种单元类型和维度，但重点聚焦于三维六面体网格。

实验结果

研究问题

• RQ1 几何积分方法是否能在网格扰动和方向变化下，仍保持隐式定义区域的拓扑特性？
• RQ2 在涉及多个连通分量或合并特征的歧义情况下，所提出方法与标准移动立方体相比表现如何？
• RQ3 与标准移动立方体相比，拓扑保持测试的性能开销如何，尤其是在真实数据分布下的表现？
• RQ4 该方法在切割单元上的几何积分中，二阶精度的实现程度如何？
• RQ5 该方法能否通过递归应用实现多水平集扩展，且修改量极小？

主要发现

• 所提出的拓扑保持移动立方体（TPMC）算法在切割单元上实现了几何积分的二阶精度。
• TPMC对网格扰动和方向变化表现出鲁棒性，不同环面构型下的关键拓扑变化距离均低于一个网格单元尺寸（h）。
• 尽管歧义解析时间增加了2.2倍，但由于额外测试的引入，包含网格迭代的相对时间开销仍被降低至约1.18倍。
• 面测试和中心测试分别在约75%和22%的关键计算中被使用，表明计算成本适中且可预测。
• 该算法保持了三维体积三角剖分与二维面三角剖分之间的拓扑一致性，确保了可靠的几何重建。
• 实现已达到生产就绪状态，并已集成至DUNE有限元框架，支持在现有FEM项目中复用。