[论文解读] Geometric Langlands Correspondence Near Opers

Edward Frenkel, Constantin Teleman|arXiv (Cornell University)|Jun 4, 2013

Advanced Algebra and Geometry参考文献 9被引用 8

一句话总结

本文通过建立在平坦 $^L G$-丛模空间中关于对角线的正式邻域上的凝聚层的导出范畴与 $G$-丛模堆上的 $\mathscr{D}^s$-模的导出范畴之间的等价性，将 Beilinson–Drinfeld 几何兰道对应关系进行了推广。关键结果是识别出两侧结构层的导出自同态代数之间的 $A_\infty$-等价，其中 $A_\infty$-结构由于对角线正式邻域中拉格朗日子流形的无阻碍形变而为严格交换。

ABSTRACT

We extend the categorical geometric Langlands correspondence from the locus of opers in the stack of de Rham local systems on a smooth projective algebraic curve to the formal neighborhood of opers (for any semi-simple complex algebraic group).

研究动机与目标

• 将 Beilinson–Drinfeld 等价性从对角线处的概化支持推广至平坦 $^L G$-丛模空间中对角线的正式邻域。
• 建立在 $\operatorname{Loc}_{^L G}$ 中对角线正式邻域上支持的凝聚层的导出范畴与 $\operatorname{Bun}_G$ 上 $\mathscr{D}^s$-模的导出范畴之间的等价性。
• 证明 $\mathscr{D}^s$-模的导出自同态代数上的 $A_\infty$-结构为严格交换，从而表明对偶侧的 $A_\infty$-结构亦为严格交换。
• 证明唯一允许对角线正式邻域中零截面无阻碍一阶拉格朗日子流形形变的泊松结构是标准辛形式的常数倍，而该结构被 $\mathrm{Ext}^\bullet$ 计算所排除，从而迫使泊松结构消失。

提出的方法

• 计算 $\operatorname{Bun}_G$ 上 $\mathscr{D}^s$-模 $\mathscr{D}^s$ 的导出自同态代数，将其与对角线簇 $\mathscr{O}_{\operatorname{Op}_{^L G}}$ 的 $\mathrm{Ext}$-代数相等同。
• 利用 Koszul 对偶性，将 $\mathscr{D}^s$ 的 $\mathrm{Ext}$-代数与 $\operatorname{Op}_{^L G}$ 在其余切丛中的形式邻域的形变联系起来。
• 应用 Weinstein 的管状邻域定理的形式版本，分析对角线正式邻域上的泊松结构。
• 证明对角线（对应于对角线的一阶形变）的无阻碍拉格朗日子流形形变迫使泊松结构为标准辛形式的常数倍。
• 通过 $\mathrm{Ext}^\bullet$ 计算排除标准辛泊松结构，该计算表明 $\mathrm{Ext}^\bullet$ 代数仅在泊松结构消失时才集中在度数零。
• 得出结论：$\mathrm{Ext}$-代数上的 $A_\infty$-结构为严格交换，从而对偶侧的 $A_\infty$-结构亦为严格交换。

实验结果

研究问题

• RQ1 Beilinson–Drinfeld 等价性能否从对角线处的概化支持推广至对角线的正式邻域？
• RQ2 $\operatorname{Bun}_G$ 上 $\mathscr{D}^s$-模的导出自同态代数的结构是什么？
• RQ3 对角线正式邻域上的泊松结构如何约束 $\mathrm{Ext}$-代数的 $A_\infty$-结构？
• RQ4 在对角线正式邻域中，对角线零截面的一阶拉格朗日子流形形变在何种条件下可无阻碍地延拓至所有阶？
• RQ5 为何泊松结构的消失意味着 $\mathrm{Ext}$-代数上的 $A_\infty$-结构为严格交换？

主要发现

• $\mathscr{D}^s$ 的导出自同态代数同构于 $\mathscr{O}_{\operatorname{Op}_{^L G}}$ 的 $\mathrm{Ext}$-代数，建立了对应两侧之间的关键联系。
• 由于唯一允许无阻碍拉格朗日子流形形变的泊松结构是标准辛形式的常数倍，而该结构被 $\mathrm{Ext}^\bullet$ 计算所排除，因此 $\mathrm{Ext}$-代数上的 $A_\infty$-结构为严格交换。
• 对角线正式邻域上的泊松结构消失，因为标准辛泊松结构会使 $\mathrm{Ext}$-代数坍缩为 $\mathbb{C}$，与非平凡的 $\mathrm{Ext}^\bullet$ 计算矛盾。
• $\mathscr{D}^s$ 的 $\mathrm{Ext}^\bullet$ 代数上的 $A_\infty$-结构为严格交换，这意味着对偶侧的 $A_\infty$-结构亦为严格交换。
• 从投影 $\widehat{\mathfrak{g}}$-模范畴到 $\mathscr{D}^s$-模范畴的局部化函子在 $\mathbb{V}_{\operatorname{crit}}$ 的有限逐次扩张的全子范畴 $EV$ 上是正合的，从而确保 $A_\infty$-态射是良定义的。
• 在子范畴 $EV$ 中计算的 $\mathrm{Ext}^\bullet$ 群与完整哈里什-钱德拉范畴中的结果一致，原因在于 $\mathrm{Ext}^1$ 的生成性以及通过 $EV$ 中的形式形变强制实现的交换性。