[论文解读] Geometric local epsilon factors

Quentin Guignard|arXiv (Cornell University)|Feb 18, 2019

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 22被引用 5

一句话总结

本文在正等特征 $p \neq \ell$、完美剩余域的 Hensel 离散赋值域上，对 $Îffi$-adic Galois 表示提供了几何局部 $\varepsilon$-因子的上同调构造。它建立了在完美域上曲线上的 $Îffi$-adic 她层的上同调行列式的一个乘积公式，该公式由若干公理刻画，包括归纳公式和秩为一时与几何类域论的相容性。

ABSTRACT

Inspired by the work of Laumon on $\varepsilon$-factors and by Deligne's $1974$ letter to Serre, we give an explicit cohomological definition of $\varepsilon$-factors for $\ell$-adic Galois representations over henselian discrete valuation fields of positive equicharacteristic $p eq \ell$, with (not necessarily finite) perfect residue fields. These geometric local $\varepsilon$-factors are completely characterized by an explicit list of purely local properties, such as an induction formula and the compatibility with geometric class field theory in rank $1$, and satisfy a product formula for $\ell$-adic sheaves on a curve over a perfect field of characteristic $p$.

研究动机与目标

• 将局部 $\varepsilon$-因子理论推广至正等特征 $p \neq \ell$、具有完美剩余域的 Hensel 离散赋值域，推广经典结果从有限剩余域的情形。
• 通过扭 $Îffi$-adic 她层与 Gabber-Katz 扩张，提供几何局部 $\varepsilon$-因子的显式上同调定义。
• 建立在特征 $p$ 的完美域上曲线上的 $Îffi$-adic 她层的上同调行列式的乘积公式，将局部 $\varepsilon$-因子与全局算术不变量联系起来。
• 通过一组纯粹局部的公理唯一刻画几何局部 $\varepsilon$-因子，包括归纳性、与秩一类域论的相容性，以及对层叠她层的归一化条件。

提出的方法

• 在具有完美剩余域的 Hensel 族的背景下，通过涉及扭 $Îffi$-adic 她层与上同调迹映射的上同调公式，构造几何局部 $\varepsilon$-因子。
• 利用 Gabber-Katz 扩张，将局部 $\varepsilon$-因子与曲线上她层的上同调行列式联系起来，尤其在单点处有分歧的情形。
• 使用 verlagerung 映射与导子公式，推导出在有限的通用 étale 扩张下 $Îffi$-adic 她层的归纳公式。
• 应用秩一的几何类域论，验证 $\varepsilon$-因子在秩一她层情形下与已知互惠律的一致性。
• 通过有限态射将问题约化至 $\mathbb{P}^1$ 上，其分歧集中在 $0$ 与 $\infty$，并进一步约化为 $\mathbb{A}^1 \setminus \{0\}$ 上局部系统的情形。
• 结合扭她层理论、对偶性理论与傅里叶变换理论，通过显式计算每一点的 $\varepsilon$-因子，证明全局乘积公式。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何为具有完美剩余域的等特征 Hensel 域上的 $Îffi$-adic Galois 表示显式定义局部 $\varepsilon$-因子，从而推广经典理论从有限剩余域的情形？
• RQ2 在该推广设定下，哪些公理性质能唯一刻画几何局部 $\varepsilon$-因子，特别是归纳公式与类域论相容性？
• RQ3 在特征 $p$ 的完美域上曲线上的 $Îffi$-adic 她层的上同调行列式是否成立全局乘积公式，其中局部 $\varepsilon$-因子作为局部贡献？
• RQ4 $\varepsilon$-因子能否显式地用傅里叶变换在一点的行列式等上同调不变量表示？
• RQ5 在有限的通用 étale 满射下，$\varepsilon$-因子的行为如何？verlagerung 映射在归纳公式中起什么作用？

主要发现

• 几何局部 $\varepsilon$-因子通过涉及她在某一点的傅里叶变换行列式的上同调公式显式构造，得到一个取值于 $\mathbb{Q}_\ell$ 的有限扩张上的连续伽罗瓦特征。
• $\varepsilon$-因子在有限的通用 étale 扩张下满足精确的归纳公式，涉及 verlagerung 映射、导子与扩张的符号。
• 对于秩一她层，$\varepsilon$-因子与几何类域论中经典的局部 $\varepsilon$-因子一致，确保与已知互惠律的相容性。
• 在曲线上，$Îffi$-adic 她层的上同调行列式的乘积公式被确立为 $\varepsilon_{\overline{k}}(X,\mathcal{F}) = \chi_{\mathrm{cyc}}^{-\mathrm{rk}(\mathcal{F})} \varepsilon_{\overline{k}}(\mathbb{A}_{(0)},\mathcal{F},dt) \varepsilon_{\overline{k}}(\mathbb{P}_{(\infty)},\mathcal{F},dt)$，该公式对分歧点至多一个的她层成立。
• 无穷远处的 $\varepsilon$-因子被证明与无穷远处傅里叶变换行列式的逆相关，公式为 $\langle \chi_{\det(\mathrm{F}_{\psi}^{(\infty,0^\prime)}(\mathcal{F}_{|\mathbb{P}_{(\infty)}}))} \rangle(t')^{-1} = \chi_{\mathrm{cyc}}^{-\mathrm{rk}(\mathcal{F})} \varepsilon_{\overline{k}}(\mathbb{P}_{(\infty)},\mathcal{F},dt)$。
• 全局乘积公式被约化为 $\mathbb{P}^1$ 上分歧集中在 $0$ 与 $\infty$ 的情形，并通过结合上同调对偶性、扭她层理论与傅里叶变换的性质得以证明。