[论文解读] Geometric mean method for judgement matrices: Formulas for errors

I. L. Tomashevskii|arXiv (Cornell University)|Oct 3, 2014

Multi-Criteria Decision Making参考文献 6被引用 3

一句话总结

本文通过推导出GMM在成对比较矩阵中数值误差的精确公式，解决了长期存在的可靠性问题。通过将GMM建模为标准测量过程并引入误差指标，该研究消除了此前在GMM和EM（特征向量法）中均观察到的排序反转现象，并确立了GMM作为与EM在准确性和一致性方面等效的完全可靠的决策支持工具。

ABSTRACT

The geometric mean method (GMM) and the eigenvector method (EM) are well-known approaches to deriving information from pairwise comparison matrices in decision making processes. However, the original algorithms of these methods are logically incomplete and have significant drawbacks: their actual numerical errors are unknown and their reliability is doubted by different rank reversal phenomena including the GMM-EM ones. Recently (Tomashevskii 2015: Eur J Oper Res 240:774-780), the actual numerical errors were found for EM, and it was shown that all EM rank reversal phenomena have the same cause and are eliminated when the errors are taken into account. In this paper the similar ap-proach is used for GMM: we associate GMM with some standard measuring procedure, ana-lyze this procedure from the viewpoint of measurement theory, and find the actual GMM errors. We show that the GMM and the GMM-EM rank reversal phenomena are eliminated when the GMM and the EM errors are taken into account. The GMM decision support tool, which has all components of a standard measuring tool, is composed of pairwise comparisons as an initial measuring procedure, GMM as a data processor, and the obtained formulas for GMM errors as an error indicator. This tool is analogous to the EM decision support tool received earlier in the above paper. It is shown that the EM and the GMM versions of the tool are equally suitable to measure and rank any comparable elements with positive numerical values. We also analyze the Geometric Consistency Index usually used in the original GMM to measure of the inconsistency and to accept or reject an inconsistent pairwise comparison matrix, and show that this index is not an acceptable GMM error indicator.

研究动机与目标

• 解决原始GMM算法中逻辑不完整和未知数值误差的问题。
• 解决GMM及GMM-EM比较中持续存在的排序反转现象，这些现象会损害决策的可靠性。
• 开发一个与最近建立的基于EM的工具类似的、完整的GMM决策支持工具，包含误差指标。
• 评估几何一致性指数（GCI）作为GMM不一致性的度量是否有效。
• 证明当误差得到适当处理时，GMM与EM在测量和排序正值可比元素方面具有同等适用性。

提出的方法

• 将GMM建模为标准测量程序，将其整合进测量理论以定义误差来源。
• 利用统计学和优化原理，推导出GMM中实际数值误差的显式数学公式。
• 将推导出的误差公式整合进一个包含三个部分的完整决策支持工具：成对比较（输入）、GMM（数据处理）和误差指标（输出）。
• 在相同条件下将GMM的性能与特征向量法（EM）进行比较，使用误差校正后的排序结果。
• 分析几何一致性指数（GCI）作为潜在不一致性度量的适用性，并评估其作为误差指标的有效性。
• 采用先前已发表的用于EM的同一理论框架，以确保GMM与EM工具之间的一致性和可比性。

实验结果

研究问题

• RQ1 成对比较矩阵中几何平均法（GMM）的实际数值误差是什么？
• RQ2 为什么GMM和GMM-EM中会出现排序反转现象？通过考虑误差是否可以消除？
• RQ3 几何一致性指数（GCI）是否是GMM误差的有效指标，还是具有误导性？
• RQ4 能否构建一个包含误差指标的完整GMM决策支持工具，类似于先前为特征向量法（EM）开发的工具？
• RQ5 当误差得到适当处理时，GMM与EM在排序正值可比元素方面是否具有同等的可靠性与准确性？

主要发现

• 推导出GMM的实际数值误差，并证明其可通过显式数学公式进行量化。
• 当应用推导出的误差公式时，所有GMM及GMM-EM的排序反转现象均被消除，解决了重大可靠性问题。
• 几何一致性指数（GCI）不是GMM误差的有效指标，不应用于评估不一致性或接受/拒绝矩阵。
• 构建了一个包含三个部分的完整GMM决策支持工具：成对比较、GMM处理和误差指标，使其在功能上等同于基于EM的工具。
• 当误差得到适当处理时，GMM与EM在测量和排序任意一组正值可比元素方面具有同等适用性。
• 本研究证实，两种方法中排序反转的根本原因在于缺乏适当的误差量化，而这一问题现已被成功解决。