[论文解读] Geometric Meanings of Curvatures in Finsler Geometry

Zhongmin Shen|ArXiv.org|Nov 18, 2000

Advanced Differential Geometry Research参考文献 12被引用 9

一句话总结

本文通过长度结构、测地线和比较定理的视角，分析了Finsler几何中关键曲率不变量——Cartan扭量、平均Cartan扭量、S-曲率和Ricci曲率——的几何意义，提供了Finsler几何中曲率的度量-几何解释。在曲率条件下，建立了体积增长和直径上界的相关比较结果，将经典黎曼几何结果推广至Finsler空间，并证明了：在正Ricci曲率和受控S-曲率条件下，具有小体积的紧致Finsler流形其基本群有限且Gromov不变量为零。

ABSTRACT

In Finsler geometry, we use calculus to study the geometry of regular inner metric spaces. In this note I will briefly discuss various curvatures and their geometric meanings from the metric geometry point of view, without going into the forest of tensors.

研究动机与目标

• 从度量-几何视角，阐明Finsler几何中曲率不变量——Cartan扭量、平均Cartan扭量、S-曲率和Ricci曲率——的几何意义。
• 通过Riemann曲率和Ricci曲率的曲率界，将经典比较定理（如Cartan-Hadamard定理、Bonnet-Meyers定理）推广至Finsler空间。
• 在Ricci曲率和S-曲率有界条件下，利用Busemann-Hausdorff测度与共面积公式，建立度量球与球面的体积比较结果。
• 证明：在小体积与曲率约束下，紧致可逆Finsler流形的Gromov不变量为零，推广了黎曼几何中的一个结果。

提出的方法

• 利用Finsler度量F在流形M上诱导的长度结构，通过Lipschitz曲线的伸缩定义。
• 定义关键曲率不变量：通过F²的二阶导数定义Cartan扭量C_y，通过C_y关于度量g_y的迹定义平均Cartan扭量I_y。
• 将S-曲率S定义为扭曲函数τ(y)的散度，用于度量体积形式的非欧几何时变行为。
• 应用共面积公式，将度量球B(x,r)的体积与球面S(x,r)的测度关联，使用Busemann-Hausdorff测度μ_F。
• 通过假设Ricci曲率下界为(n−1)λF²，S-曲率下界为(n−1)δF，推导出比较定理，得到体积比估计。
• 应用Morse理论与Gromov的论证，将Gromov不变量‖M‖以体积与曲率参数表示，证明当曲率与体积乘积足够小时其值为零。

实验结果

研究问题

• RQ1 Cartan扭量与平均Cartan扭量如何反映Finsler度量的非欧几里得性质？
• RQ2 Finsler空间中Riemann曲率非正时具有何种几何意义？
• RQ3 Ricci曲率与S-曲率如何控制Finsler流形的体积增长与直径？
• RQ4 在何种曲率与体积条件下，Finsler流形的Gromov不变量为零？
• RQ5 Finsler几何中的比较定理如何推广经典黎曼几何结果（如Bonnet-Meyers定理与Cartan-Hadamard定理）？

主要发现

• 在具有非正Riemann曲率的正完备Finsler空间上，指数映射是满的覆盖映射，意味着M是K(π,1)空间。
• 若Ricci曲率满足∑κ_i(y) ≥ (n−1)λ > 0，则M及其万有覆叠的直径有界于π/√λ，且基本群有限。
• 在捏缩条件1/4 < (1/k)∑_{i=1}^k κ_i(y) 且 κ_{n−1}(y) ≤ 1 下，同伦群π_i(M) 对于i = 1,…,n−k为零。
• 对于满足(49)式中曲率有界条件的可逆Finsler度量，体积比μ_F(B(x,r))/V_{λ,δ}(r) 与 ν_F(S(x,r))/V'_{λ,δ}(r) 关于r非增。
• Gromov不变量满足‖M‖ ≤ n!(n−1)^n(√|λ| + |δ|)^n μ_F(M)，且当(|λ|^{1/2} + |δ|)^n μ_F(M) ≤ ε(n) 对某个ε(n) > 0成立时，其值为零。
• 该结果将Gromov在黎曼情形下关于小体积与曲率条件下Gromov不变量为零的定理推广至Finsler情形。