[论文解读] Geometric measure of entanglement of symmetric d-qubits is polynomial-time computable

Shmuel Friedland, Li Wang|arXiv (Cornell University)|Aug 3, 2016

Tensor decomposition and applications参考文献 20被引用 3

一句话总结

该论文通过推导两个变量的对称d模张量谱范数的闭式公式，证明了对称d-量子比特的几何纠缠度量是多项式时间可计算的。该方法将问题简化为求解次数不超过(d−1)²+1的单变量多项式根，从而可通过标准根求解算法实现高效计算，并为特殊情况提供了多项式时间近似算法。

ABSTRACT

We give a simple formula for finding the spectral norm of d-mode symmetric tensor in two variables over the complex or real numbers in terms of the complex or real roots of a corresponding polynomial in one complex variable. This result implies that the geometric measure of entanglement of symmetric d-qubits is polynomial-time computable. We discuss a generalization to d-mode symmetric tensor in more than two variables.

研究动机与目标

• 解决对称d-量子比特的几何纠缠度量的计算复杂性问题，该问题在量子信息理论中具有核心地位。
• 为复数域和实数域上对称d-量子比特的谱范数开发一种解析计算方法。
• 证明谱范数的计算可归约为求解单变量多项式方程，从而支持多项式时间算法。
• 将该框架扩展至实对称张量，并为特殊情况提供近似方法。
• 推测对于具有n ≥ 3个层级的对称d-量子比特，其谱范数同样具有多项式时间可计算性。

提出的方法

• 推导出对称d-量子比特谱范数的公式，即涉及次数不超过(d−1)²+1的单变量多项式根的函数的最大值。
• 利用巴拿赫定理的谱范数刻画，将其与单位球面上齐次多项式的临界点相关联。
• 应用次数理论，对复空间和实空间中多项式映射的不动点与反不动点数量进行上界估计。
• 将问题简化为根据张量的对称性与域的类型，计算所导出多项式zv(z) − u(z)的复根或实根。
• 采用具有多项式时间精度保证的标准数值根求解算法，处理单变量多项式。
• 为对主公式不适用的对称d-量子比特的特殊情况，提供多项式时间近似算法。

实验结果

研究问题

• RQ1 对称d-量子比特的几何纠缠度量是否可在多项式时间内计算？
• RQ2 对称d-量子比特的谱范数与单变量多项式根之间有何关系？
• RQ3 实对称d-量子比特与复对称d-量子比特的谱范数计算有何不同？
• RQ4 与对称张量相关的多项式映射的临界点结构是怎样的？
• RQ5 对于具有n ≥ 3个层级的对称d-量子比特，其谱范数是否也具有多项式时间可计算性？

主要发现

• 通过对称d-量子比特的谱范数可通过将问题简化为求解次数不超过(d−1)²+1的单变量多项式根，实现在多项式时间内计算。
• 对于实对称d-量子比特，实谱范数仅依赖于次数不超过d+1的多项式的实根。
• 由于单变量多项式具有高效的根求解算法，对称d-量子比特的几何纠缠度量是多项式时间可计算的。
• 在例A.15中，谱范数计算结果为0.3953，与已知值√(5/32)一致。
• 在例A.16中，谱范数计算结果为0.4125，与理论值√(28/243)一致。
• 该方法为对主公式不适用的对称d-量子比特的特殊情况提供了多项式时间近似。