[论文解读] Geometric measures for hyperbolic sets on surfaces

Alberto A. Pinto, D.A.J. Rand|ArXiv.org|May 15, 2006

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 23被引用 10

一句话总结

本文引入了一个用于曲面上具有与Hausdorff测度绝对连续的不变测度的双曲基本集的模空间，使用了两个新不变量：测度Solenoid函数与余轭-间隙对。该研究将Livšic与Sinai的特征值准则推广至曲面上的双曲系统，证明了周期点的稳定与不稳定特征值集合可完全分类此情形下的Lipschitz共轭类。

ABSTRACT

We present a moduli space for all hyperbolic basic sets of diffeomorphisms on surfaces that have an invariant measure that is absolutely continuous with respect to Hausdorff measure. To do this we introduce two new invariants: the measure solenoid function and the cocycle-gap pair. We extend the eigenvalue formula of A. N. Livsic and Ja. G. Sinai for Anosov diffeomorphisms which preserve an absolutely continuous measure to hyperbolic basic sets on surfaces which possess an invariant measure absolutely continuous with respect to Hausdorff measure. We characterise the Lipschitz conjugacy classes of such hyperbolic systems in a number of ways, for example, in terms of eigenvalues of periodic points and Gibbs measures.

研究动机与目标

• 开发一个用于保持与Hausdorff测度绝对连续的不变测度的$C^{1+}$双曲微分同胚的模空间。
• 将Anosov系统的Livšic-Sinai特征值准则推广至曲面上的一般双曲基本集。
• 利用谱不变量与Gibbs测度表征此类系统的Lipschitz共轭类。
• 引入并研究两个新不变量：测度Solenoid函数与余轭-间隙对，作为分类工具。
• 在模空间中建立$C^{1+}$-Hausdorff可实现的Gibbs测度与Lipschitz共轭类之间的一一对应关系。

提出的方法

• 定义$C^{1+}$双曲微分同胚的模空间${\mathcal{T}}_{f,\Lambda}(\delta_s, \delta_u)$，其稳定与不稳定叶的Hausdorff维数固定为$\delta_s$、$\delta_u$。
• 将测度Solenoid函数定义为由动力系统与Hausdorff测度结构导出的几何不变量。
• 将余轭-间隙对定义为编码Solenoid函数中间隙结构的一对函数，对共轭类的参数化至关重要。
• 利用马尔可夫划分与符号动力系统将动力系统提升为有限型子移位，从而可使用Gibbs测度。
• 通过标记映射$i_g$的拉前像构造Gibbs测度的Hausdorff实现。
• 证明周期轨道的特征值集合是Lipschitz共轭类的完全不变量，推广了de la Llave、Marco与Moriyón的结果。

实验结果

研究问题

• RQ1 在双曲基本集$\Lambda_g$上，何种条件可保证存在$g$-不变测度，且其与Hausdorff测度绝对连续？
• RQ2 如何利用周期轨道的特征值集合对曲面上双曲微分同胚的Lipschitz共轭类进行分类？
• RQ3 测度Solenoid函数与余轭-间隙对在模空间中共轭类参数化中起何作用？
• RQ4 在曲面上双曲系统的背景下，Gibbs测度与Hausdorff实现之间有何关系？
• RQ5 特征值条件$|\lambda_{g,s}(x)^{\delta_{g,s}} \lambda_{g,u}(x)^{\delta_{g,u}}| = 1$能否作为不变测度绝对连续性的完全判据？

主要发现

• 本文证明：$C^{1+}$双曲微分同胚$g$在$\Lambda_g$上存在$g$-不变测度且与Hausdorff测度绝对连续，当且仅当对所有周期点$x$，有$|\lambda_{g,s}(x)^{\delta_{g,s}} \lambda_{g,u}(x)^{\delta_{g,u}}| = 1$。
• 所有周期轨道的稳定与不稳定特征值集合构成${\mathcal{T}}_{f,\Lambda}(\delta_s, \delta_u)$中$g$的Lipschitz共轭类的完全不变量。
• 在${\mathcal{T}}_{f,\Lambda}(\delta_s, \delta_u)$中，$C^{1+}$-Hausdorff可实现的Gibbs测度$\nu$与Lipschitz共轭类之间存在一一对应关系。
• 余轭-间隙对参数化了每个共轭类中$C^{1+}$自重正规化结构的集合，此类对的空间为无穷维。
• 对每个Gibbs测度$\nu$，$\delta_\iota$-有界Solenoid等价类唯一确定一个$C^{1+}$共轭类，其具有与Hausdorff测度绝对连续的不变测度。
• $C^{1+}$自重正规化结构由$\iota$-Solenoid函数唯一确定，且此类结构由空间$\mathcal{JG}^\iota(\nu, \delta)$中的余轭-间隙对参数化。