[论文解读] Geometric Multigrid solvers for Hybrid High-Order methods on polytopal meshes

Santiago Badia, J. Manyer|arXiv (Cornell University)|Mar 1, 2026

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics被引用 0

一句话总结

这篇论文提出了在任意多面体网格和聚合层次上的 Hybrid High-Order (HHO) 方法的首个最优几何多重网格求解器，适用于二维和三维，具有鲁棒的收敛性分析。

ABSTRACT

We propose the first optimal geometric multigrid solver for hybrid high-order discretizations that can handle arbitrary polytopal agglomeration hierarchies in both two and three dimensions. The key ingredient is the use of modified skeleton spaces, which naturally accommodate non-planar interfaces arising during coarsening while reducing the number of degrees of freedom. We prove robust convergence with respect to the mesh size and the number of levels, and we validate our results numerically on a range of agglomeration-based mesh hierarchies. The approach extends naturally to other hybrid discretizations such as hybridizable discontinuous Galerkin and Weak Galerkin methods.

研究动机与目标

• 为基于一般多面体网格的 HHO 离散化设计并开发几何多重网格（GMG）求解器。
• 在保持计算效率的同时，实现具有非平坦界面的聚合网格层级结构。
• 提供鲁棒的收敛性分析，独立于网格大小和多重网格层数。
• 将该方法扩展到相关的混合离散化方法，如 HDG 和 Weak Galerkin 方法。

提出的方法

• 引入可容纳非平坦界面的最小 HHO 空间并降低自由度。
• 采用修改后的界面空间 П(F)=P^{0}(F)+∇P^{k+1}(
  67)•n_{F} 以约束界面自由度并允许任意聚合。
• 构建几何多重网格组件：网格间传递算子（投影/限制）和基于星片的平滑器。
• 通过对调和扩展和对细接口的加权 L2 投影来定义 Prolongation 算子 I_{ll} 和 I_{ll}^{R}。
• 使用两种类型的星片平滑器（界面星片和平滑顶点星片）实现网格/阶数/参数鲁棒的收敛性。
• 在基于标准多重网格理论的收敛性框架内给出验证假设 Assumptions 4.1–4.3 的并且针对所提出算子进行验证。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否可以设计一个 GMG 方法来处理二维和三维 HHO 离散化中的任意多面体聚合？
• RQ2 所提出的界面空间选择和网格间传递算子是否能实现独立于网格尺寸和层数的鲁棒收敛？
• RQ3 该框架是否可以扩展到其他混合离散化方法，如 HDG 和 Weak Galerkin 方法？
• RQ4 使用非平面粗界面对平滑效率和总体多重网格性能有何影响？

主要发现

• 所提出的 GMG 方法在二维和三维的多面体网格及基于聚合的层次结构上实现 HHO 的最优收敛。
• 基于 P^{0}(F)+∇P^{k+1}(
  67)·n_{F} 的面自由度约简界面空间天然处理非平坦界面并降低自由度。
• 在提出的框架和假设下，证明收敛性对网格大小和多重网格层数具有鲁棒性。
• 两种投影算子选择和星片平滑器在粗网格层次上实现了有效的平滑，即使没有平面边界的限制。
• 该方法自然扩展到相关的混合离散化方法，如 HDG 和 Weak Galerkin 方法。