[论文解读] Geometric normal subgroups in mapping class groups of punctured surfaces

Alan McLeay|arXiv (Cornell University)|Oct 1, 2018

Geometric and Algebraic Topology参考文献 28被引用 6

一句话总结

本文证明了，对于带有穿孔的曲面的扩展映射类群的许多正规子群是几何的，即其自同构群与抽象共轭群同构于完整的扩展映射类群。关键结果依赖于子群元素的最小支撑的复杂度条件，通过单纯复形自同构刚性，将Brendle-Margalit在闭曲面上的工作推广至穿孔曲面。

ABSTRACT

We prove that many normal subgroups of the extended mapping class group of a surface with punctures are geometric, that is, that their automorphism groups and abstract commensurator groups are isomorphic to the extended mapping class group. In order to apply our theorem to a normal subgroup we require that the "minimal supports" of its elements satisfy a certain complexity condition that is easy to check in practice. The key ingredient is proving that the automorphism groups of many simplicial complexes associated to punctured surfaces are isomorphic to the extended mapping class group. This resolves many cases of a metaconjecture of N. V. Ivanov and extends work of Brendle-Margalit, who prove the result for surfaces without punctures.

研究动机与目标

• 将Brendle-Margalit关于闭曲面上几何正规子群的结果，从闭曲面推广至穿孔曲面。
• 解决Ivanov关于映射类群正规子群的自同构群与共轭群的元猜想。
• 建立一个基于最小支撑复杂度的充分条件，以保证正规子群是几何的。
• 证明在足够高亏格与穿孔数的穿孔曲面上，Johnson滤子的项是几何的。
• 证明与穿孔曲面相关的关键单纯复形的自同构群同构于扩展映射类群。

提出的方法

• 将正规子群元素的'最小支撑'定义为该元素被支撑的子曲面，且不包含于任何具有相同拓扑类型的真子曲面中。
• 通过涉及三个元素（最小支撑元素与其他两个元素）的亏格与穿孔数不等式，引入'小支撑'的概念。
• 利用映射类群在曲线复形及其变体上的作用，建立自同构的刚性。
• 通过交换图论证，证明正规子群复形的自同构群同构于扩展映射类群。
• 将主定理应用于Johnson滤子，通过验证支撑类型为Σ_{2,0}^1、Σ_{1,1}^1与Σ_{0,3}^1的元素满足小支撑条件。
• 利用有限指数子群具有同构抽象共轭群的事实，将问题约化至纯子群，并应用单射性与同构性结果。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，穿孔曲面的扩展映射类群的正规子群是几何的，即其自同构群同构于完整群？
• RQ2 能否利用与穿孔曲面相关单纯复形的自同构刚性，来证明正规子群的几何性？
• RQ3 通过亏格与穿孔数不等式定义的小支撑条件，是否足以保证正规子群是几何的？
• RQ4 在亏格≥5且穿孔数足够多的穿孔曲面上，Johnson滤子的项是否为几何的？
• RQ5 与闭曲面相比，穿孔的存在如何影响正规子群的自同构群与共轭群？

主要发现

• 若正规子群N中所有最小支撑元素均满足小支撑条件，则N的自同构群同构于扩展映射类群。
• 此类N的抽象共轭群也同构于扩展映射类群，将闭曲面的结果推广至穿孔曲面。
• 对于亏格g≥5且穿孔数n≥5的曲面Σ_{g,n}，Johnson滤子的项J_k(Σ)是几何的，因为所有最小支撑元素均满足小支撑条件。
• 正规子群复形C_N(Σ)的自同构群同构于扩展映射类群，通过一个良定义的同态Φ实现，该同态既是单射也是满射。
• 证明依赖于与穿孔曲面相关单纯复形自同构的刚性，将Ivanov与Brendle-Margalit的结果推广至穿孔情形。
• 小支撑条件确保子群N在曲面上足够'分散'，从而可应用曲线复形技巧与共轭群刚性。