[论文解读] Geometric objects associated with the fundamental connections in Finsler geometry

Nabil L. Youssef, S. H. Abed+1 more|arXiv (Cornell University)|May 16, 2008

Advanced Differential Geometry Research参考文献 7被引用 16

一句话总结

本文对芬斯勒几何中基本线性联络——嘉当（Cartan）、贝瓦尔德（Berwald）、丘（Chern）和桥口（Hashiguchi）联络——所关联的扭转与曲率张量场进行了内在的、坐标无关的研究。通过在拉回丛上推导正则联络的普遍关系，建立了统一并推广经典结果的基础几何性质，揭示了芬斯勒几何相较于黎曼几何更丰富的曲率与扭转结构的深层几何本质。

ABSTRACT

The aim of the present paper is to provide an \emph{intrinsic} investigation of the properties of the most important geometric objects associated with the fundamental linear connections in Finsler geometry. We investigate intrinsically the most general relations concerning the torsion tensor fields and the curvature tensor fields associated with a given regular connection on the pullback bundle of a Finsler manifold. These relations, in turn, play a key role in obtaining other interesting results concerning the properties of the most important geometric objects associated with the fundamental canonical linear connections on the pullback bundle of a Finsler manifold, namely, the Cartan connection, the Berwald connection, the Chern (Rund) connection and the Hashiguchi connection. For the sake of completeness and for comparison reasons, we provide an appendix presenting a global survey of canonical linear connections in Finsler geometry and the fundamental geometric objects associated with them.

研究动机与目标

• 对芬斯勒流形的拉回丛上正则线性联络所关联的扭转与曲率张量场，提供一种内在的、坐标无关的分析。
• 建立任意正则联络下扭转与曲率张量之间的普遍关系，作为研究特定典型联络的基础。
• 系统研究芬斯勒几何中最重要典型联络（嘉当、贝瓦尔德、丘、桥口）的几何性质。
• 通过推导其内在对应形式，统一并推广经典局部结果，确保一致性并提供更深刻的几何洞察。
• 在附录中提供典型联络及其相关几何对象的全面全局综述，以供比较与完整性。

提出的方法

• 本研究采用拉回丛方法，在 $\pi^{-1}(TM)$ 上进行，即通过 $\pi: \mathcal{T}M \to M$ 拉回切丛 $TM$，以处理芬斯勒几何中的方向依赖性。
• 使用内在微分几ed工具，包括内乘 $i_X$、外微分 $d$，以及类似李导数的算子 $d_L = [i_L, d]$，在不使用指标记号的情况下定义和操作张量场。
• 分析聚焦于 $\pi$-向量场 $\overline{X}$、$\overline{Y}$ 和 $\overline{Z}$ 及其在各种联络下的协变导数，曲率与扭转通过协变导数的对易子定义。
• 关键几何对象——扭转张量 $T$、$\widehat{P}$，曲率张量 $S$、$P$、$R$ 及其变体 $S^\diamond$、$P^\diamond$、$R^\diamond$ 等——均以内在方式推导，并通过结构恒等式相互关联。
• 该方法通过联络的分解，区分水平（$\beta$）与垂直（$\gamma$）方向，从而实现对扭转与曲率的分类，如 (h)v、(h)hv、(v)hv 等分量。
• 本文推导出每种典型联络的曲率张量的显式内在公式，以底层嘉当联络的曲率与扭转表示，使用诸如 $\nabla_{\gamma\overline{X}}\nabla_{\gamma\overline{Y}}\overline{Z}$ 和对易子 $[\gamma\overline{X}, \gamma\overline{Y}]$ 等术语。

实验结果

研究问题

• RQ1 在不依赖局部坐标的情况下，拉回丛上任意正则联络的扭转与曲率张量场之间存在何种内在关系？
• RQ2 嘉当联络的扭转与曲率在芬斯勒几何中的内在几何性质为何？
• RQ3 贝瓦尔德、丘与桥口联络的扭转与曲率结构与嘉当联络相比有何异同？它们之间存在何种关系？
• RQ4 何种内在条件可保证这些联络的度量相容性？它们在不同典型联络之间有何差异？
• RQ5 如何用嘉当联络的曲率与扭转表示丘联络与桥口联络的曲率张量？

主要发现

• 拉回丛 $\pi^{-1}(TM)$ 上任意正则联络的扭转与曲率张量场满足普遍的内在关系，构成分析特定典型联络的基础。
• 嘉当联络具有非零的 v-曲率 $S$ 和 hv-曲率 $P$，其中 $S$ 为基本曲率对象；其 h-曲率 $R$ 非零，且与底流形的黎曼曲率相关。
• 丘联络的 v-曲率 $S^\diamond = 0$，其 hv-曲率 $P^\diamond$ 受扭转与协变导数项修正：$P^\diamond = P - T(\widehat{P}, \cdot) + (\nabla_{\beta X}T)(\cdot)$。
• 桥口联络保持了嘉当联络的 v-曲率（$S^* = S$），但其 hv-曲率 $P^*$ 包含涉及 $\widehat{P}$ 与 $\nabla_{\gamma Y}\widehat{P}$ 的附加项，反映出其在水平方向的非度量性。
• 贝瓦尔德联络的 v-曲率 $S^\circ = 0$，其 hv-曲率 $P^\circ$ 表示为 $P + \nabla_{\gamma Y}\widehat{P} + \widehat{P}(T(\cdot, \cdot), \cdot) + \cdots$，显示出扭转与非度量性之间的复杂相互作用。
• 贝瓦尔德联络的 h-曲率 $R^\circ$ 相较于 $R$ 受到包含 $T(\widehat{R}, \cdot)$ 与 $\nabla_{\beta X}\widehat{P}$ 的项修正，表明贝瓦尔德联络的曲率并非简单继承自嘉当联络。