[论文解读] Geometric properties of LMI regions

Olga Y. Kushel|arXiv (Cornell University)|Oct 23, 2019

Stability and Control of Uncertain Systems参考文献 56被引用 4

一句话总结

本文对复平面上的线性矩阵不等式（LMI）区域进行了全面的几何分析，建立了生成函数的矩阵性质与区域的拓扑及凸几何特征之间的联系。论文推导了在LMI区域内内接一个圆盘的显式条件，提出了一种基于定义矩阵L和M的谱性质的构造性方法，重点研究了渐近锥、线性空间及区域分解的典范形式。

ABSTRACT

LMI (Linear Matrix Inequalities) regions is an important class of convex subsets of $\mathbb C$ arising in control theory. An LMI region $\mathfrak D$ is defined by its matrix-valued characteristic function $f_{\mathfrak D}(z) = {\mathbf L} + z{\mathbf M}+\bar{z}{\mathbf M}^T$ as follows: ${\mathfrak D} := \{z \in {\mathbb C}: f_{\mathfrak D}(z)\prec 0\}$. In this paper, we study LMI regions from the point of view of convex geometry, describing their boundaries, recession cones, lineality spaces and other characteristic in terms of the properties of matrices $\mathbf M$ and $\mathbf L$. Conversely, we study the link between the properties of matrices $\mathbf M$ and $\mathbf L$, e.g. normality, positive and negative definiteness, and the corresponding properties of an LMI region $\mathfrak D$. We provide the conditions, when an LMI region coincides with the intersection of elementary regions such as halfplanes, stripes, conic sectors and sides of hyperbolas. We also analyze the following problem, connected to pole placement: for a given LMI region $\mathfrak D$, defined by $f_{\mathfrak D}$, how to find a closed disk $D(x_0, r)$ centered at the real axis, such that $D(x_0, r) \subseteq {\mathfrak D}$?

研究动机与目标

• 建立L和M的矩阵特征与复平面上LMI区域几何性质之间的严格联系。
• 解决在给定LMI区域内寻找最大内接圆盘的问题，尤其适用于极点配置与鲁棒稳定性分析。
• 利用矩阵理论工具表征LMI区域的拓扑特征，如边界、闭包、渐近锥与线性空间。
• 在特定矩阵条件下，将LMI区域分解为基本区域（半平面、条带、锥形扇区、双曲线）的交集。
• 提供包含关系、变换（平移、反射）及渐近锥角度估计的构造性准则。

提出的方法

• 本文利用矩阵分析，特别是M的对称部分与反对称部分的谱分解，表征LMI区域的几何性质。
• 通过L(x) = L + Sym(M)·2x的Cholesky分解分析正定域，并推导出z的虚部的界。
• 方法包括通过实平移变换将区域中心化至原点，从而在变换后的度量下分析M的反对称部分。
• 采用可交换正规矩阵L和M的典范形式，将LMI区域分解为基本多项式区域的交集。
• 内接圆盘半径r(D,x)的推导依赖于计算变换后反对称矩阵(B^T)^{-1} Skew(M) B^{-1}的特征值，并将其与虚轴边界关联。
• 通过显式例子验证理论结果，包括左半平面、单位圆盘与稳定性抛物线区域，给出r(D,x)的闭式表达式。

实验结果

研究问题

• RQ1 在什么L和M的条件下，LMI区域与半平面、条带或锥形扇区等基本区域的交集完全重合？
• RQ2 如何仅利用L和M的谱性质，计算给定LMI区域D内最大内接圆盘D(x₀,r)？
• RQ3 LMI区域的精确几何特征（如渐近锥、线性空间）是什么？其结构如何由L和M的性质决定？
• RQ4 平移、反射或压缩等变换如何影响LMI区域的形状与包含关系？
• RQ5 在给定LMI区域D内，以实数点x为中心的最大圆盘的半径r(D,x)的解析表达式是什么？

主要发现

• LMI区域D的渐近锥由Sym(M)的零空间表征；当且仅当Sym(M)半正定且L负定时，D为一个锥。
• 当且仅当M的对称部分正定时，LMI区域有界，确保区域在任何方向上不延伸至无穷远。
• 对任意x属于D在实轴上的投影，最大内接圆盘半径r(D,x)由r(D,x) = |x|√(−ε²x)/√(x² − ε²x)给出，适用于稳定性抛物线区域，显式依赖于ε与x。
• 当M为正规矩阵且与L可交换时，LMI区域D可分解为半平面、水平条带与双曲线扇区等基本区域的交集。
• 当且仅当M的对称部分正定时，D的线性空间为平凡（即{0}），表明D中不包含通过原点的非平凡线段。
• 以x₀ ∈ ℝ为中心的最大内接圆盘的半径由变换后反对称矩阵(B^T)^{-1} Skew(M) B^{-1}的特征值决定，其虚特征值直接给出z的虚部的上界。