[论文解读] Geometric properties of the Markov and Lagrange spectra

Carlos Gustavo Moreira|arXiv (Cornell University)|Dec 17, 2016

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 3被引用 6

一句话总结

本文证明了Markov谱与Lagrange谱在任意半直线 $(-\infty, t)$ 上的交集的Hausdorff维数完全相同，且其取值可覆盖 $[0,1]$ 中的任意值。它证明了维数函数 $d(t) = \mathrm{HD}(L \cap (-\infty, t))$ 是连续的、非递减的，并且在 $[0,1]$ 上满射，且满足 $d(t) = \min\{1, 2D(t)\}$，其中 $D(t)$ 是 $k(\alpha)$ 映射下原像的Hausdorff维数。

ABSTRACT

We prove several results on (fractal) geometric properties of the classical Markov and Lagrange spectra. In particular, we prove that the Hausdorff dimensions of intersections of both spectra with half-lines always coincide, and may assume any real value in the interval $[0, 1]$.

研究动机与目标

• 研究从3到Freiman常数 $c \approx 4.5278$ 之间经典Markov谱与Lagrange谱的分形几何结构。
• 确定这些谱与半直线 $(-\infty, t)$ 交集的Hausdorff维数的行为。
• 解决关于维数函数 $d(t) = \mathrm{HD}(L \cap (-\infty, t))$ 的连续性与取值范围的开放问题。
• 阐明Markov谱与Lagrange谱在几何与维数性质方面的关系。

提出的方法

• 本文在双无限序列 $\underline{\theta} \in \Sigma = (\mathbb{N}^*)^{\mathbb{Z}}$ 上使用动力系统框架，定义 $f(\underline{\theta}) = \alpha_0 + \beta_0$，其中 $\alpha_0$ 与 $\beta_0$ 是连分数尾部。
• 它将Lagrange谱定义为 $L = \{ \limsup_{n \to \infty} f(\sigma^n \underline{\theta}) \mid \underline{\theta} \in \Sigma \}$，将Markov谱定义为 $M = \{ \sup_{n \in \mathbb{Z}} f(\sigma^n \underline{\theta}) \mid \underline{\theta} \in \Sigma \}$，并将其与连分数展开联系起来。
• 关键技术在于分析 $k(\alpha)$ 函数的原像 $k^{-1}(-\infty, t)$，并将该集合的Hausdorff维数 $D(t)$ 与谱交集的维数联系起来。
• 它应用了正规Cantor集及其算术和的理论结果，特别是借鉴了Hall射线以及Freiman关于 $L$ 与 $M$ 中最大半直线的研究。
• 利用关于有限连分数词的函数 $s(\alpha) = 1/(q_n(q_n + q_{n-1}))$ 的引理，以控制距离并建立维数估计。
• 通过构造具有受控畸变的连分数词序列，并利用部分商的有界性，推导出 $|x - y|$ 的下界，从而证明了 $d(t)$ 的Hölder不连续性。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于所有 $t$，Markov谱与Lagrange谱在半直线 $(-\infty, t)$ 上的交集的Hausdorff维数是否相等？
• RQ2 函数 $d(t) = \mathrm{HD}(L \cap (-\infty, t))$ 是否可取遍 $[0,1]$ 中的任意值？
• RQ3 维数函数 $d(t)$ 是否连续且非递减，且在 $\sqrt{12}$ 之前是否达到值1？
• RQ4 $d(t)$ 是否为Hölder连续函数，或是否表现出奇异行为？
• RQ5 $d(t)$ 与维数 $D(t) = \mathrm{HD}(k^{-1}(-\infty, t))$ 之间存在何种关系？

主要发现

• 对于所有 $t \in \mathbb{R}$，$L \cap (-\infty, t)$ 与 $M \cap (-\infty, t)$ 的Hausdorff维数相等，且该共同值记为 $d(t)$。
• 函数 $d(t)$ 是连续的、非递减的，并且从 $\mathbb{R}$ 到 $[0,1]$ 上满射，且满足 $d(t) = \min\{1, 2D(t)\}$。
• 函数 $d(t)$ 在 $L \cap (-\infty, t_1]$ 的补集的连通分支上为常数，其中 $t_1 = \min\{t \in \mathbb{R} \mid d(t) = 1\} < \sqrt{12}$，表明其具有Cantor-like结构。
• 存在 $\delta > 0$ 使得 $d(\sqrt{12} - \delta) = 1$，说明维数在 $\sqrt{12}$ 之前已达到1。
• 通过反证法，利用部分商有界且畸变受控的连分数词序列，证明了 $d(t)$ 不是Hölder连续的。
• $L \cap (-\infty, t_1]$ 是紧致的，勒贝格测度为零，且内部为空，尽管在 $t_1$ 处具有全维数1。