[论文解读] Geometric Quantization of the Phase Space of a Particle in a Yang-Mills Field

M.A. Robson|arXiv (Cornell University)|Jun 8, 1994

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 37被引用 7

一句话总结

本文将几何量子化应用于在黎曼流形上运动的粒子在杨-米尔斯规范场中的情形，将其相空间视为主丛余切从丛的马尔施登-魏斯曼约化。它构建了一个从经典可观测量到量子算符的映射，将其识别为半直积群 Aut~N ⋉ C∞c(Q) 的表示生成元，并展示了广义的阿哈罗诺夫-玻姆效应，阐明了规范联络在量子力学中的作用。

ABSTRACT

The method of geometric quantization is applied to a particle moving on an arbitrary Riemannian manifold $Q$ in an external gauge field, that is a connection on a principal $H$-bundle $N$ over $Q$. The phase space of the particle is a Marsden-Weinstein reduction of $T^*N$, hence this space can also be considered to be the reduced phase space of a particular type of constrained mechanical system. An explicit map is found from a subalgebra of the classical observables to the corresponding quantum operators. These operators are found to be the generators of a representation of the semi-direct product group, Aut~$N\lx C^\infty_c(Q)$. A generalised Aharanov-Bohm effect is shown to be a natural consequence of the quantization procedure. In particular the rôle of the connection in the quantum mechanical system is made clear. The quantization of the Hamiltonian is also considered. Additionally, our approach allows the related quantization procedures proposed by Mackey and by Isham to be fully understood.\\

研究动机与目标

• 为在黎曼流形上耦合了杨-米尔斯规范场的粒子发展一个严格的几何量子化框架。
• 通过显式算符构造，阐明规范联络在量子力学中的作用。
• 理解由相空间约化产生的量子表示结构。
• 将广义的阿哈罗诺夫-玻姆效应解释为量子化过程的自然结果。
• 在几何量子化框架内，调和并澄清麦克伊和伊沙姆先前的量子化方法。

提出的方法

• 相空间被构造为黎曼流形 Q 上主 H-丛 N 的余切丛 T*N 的马尔施登-魏斯曼约化。
• 对约化后的相空间应用几何量子化，使用极化和预量子线丛构造。
• 通过标准几何量子化规定，将经典可观测量的一个子代数映射到量子算符。
• 证明这些量子算符生成了半直积群 Aut~N ⋉ C∞c(Q) 的酉表示，其中 Aut~N 表示丛的自同构群。
• 明确地将主丛上的连接 1-形式与量子力学的相位和全息结构联系起来。
• 在同一框架内对哈密顿量进行量子化，保持系统的几何结构。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在一般黎曼流形上一致地应用几何量子化于杨-米尔斯场中的粒子？
• RQ2 规范联络在结果量子理论中的确切作用是什么，特别是关于全息和相位因子？
• RQ3 通过几何量子化构造的量子算符如何实现半直积群 Aut~N ⋉ C∞c(Q) 的表示？
• RQ4 广义的阿哈罗诺夫-玻姆效应在何种意义上自然地从几何量子化过程中浮现？
• RQ5 麦克伊和伊沙姆的方法如何与这一几何量子化框架相关联，并被其澄清？

主要发现

• 通过几何量子化构造的量子算符被识别为半直积群 Aut~N ⋉ C∞c(Q) 的酉表示的生成元，为量子系统提供了群论结构。
• 广义的阿哈罗诺夫-玻姆效应自然地源于规范联络的全息性质，其中量子相位依赖于主丛的曲率和拓扑。
• 该量子化过程明确表明，即使在场强为零的区域，规范联络仍对量子力学相位有贡献。
• 该系统哈密顿量在几何框架内被一致地进行量子化，保持了辛结构和丛结构。
• 该方法完全调和并澄清了麦克伊和伊沙姆先前的量子化方案，表明他们的构造是几何量子化方法中的特例。
• 通过马尔施登-魏斯曼构造的相空间约化为系统的经典与量子动力学提供了严格的几何基础。