[论文解读] Geometric Set Cover and Hitting Sets for Polytopes in $R^3$

Sören Laue|ArXiv.org|Feb 20, 2008

Computational Geometry and Mesh Generation参考文献 18被引用 15

一句话总结

本文提出了针对 $$\mathbb{R}^3$$ 中一个多面体平移的几何集合覆盖和命中集问题的首个常数因子近似算法。该方法依赖于为多面体平移构造大小为 $O(1/\epsilon)$ 的 $\epsilon$-网，从而通过加权 $\epsilon$-网计算和集合覆盖与命中集问题之间的对偶性实现高效近似。

ABSTRACT

Suppose we are given a finite set of points $P$ in $\R^3$ and a collection of polytopes $\mathcal{T}$ that are all translates of the same polytope $T$. We consider two problems in this paper. The first is the set cover problem where we want to select a minimal number of polytopes from the collection $\mathcal{T}$ such that their union covers all input points $P$. The second problem that we consider is finding a hitting set for the set of polytopes $\mathcal{T}$, that is, we want to select a minimal number of points from the input points $P$ such that every given polytope is hit by at least one point. We give the first constant-factor approximation algorithms for both problems. We achieve this by providing an epsilon-net for translates of a polytope in $R^3$ of size $\bigO(\frac{1{ε)$.

研究动机与目标

• 为涉及固定多面体平移的 3D 几何设置中的集合覆盖和命中集问题开发高效的近似算法。
• 解决长期存在的挑战：在一般情况下，这些问题为 NP-难问题，且在任意设置下难以近似，而本研究旨在实现常数因子近似。
• 建立 $$\mathbb{R}^3$$ 中多面体平移的 $\epsilon$-网存在性，从而为两个问题提供常数因子近似。
• 将已知的关于简单几何对象（如半空间、伪圆盘）的 $\epsilon$-网结果推广到更一般的 3D 非凸、非肥硕多面体情形。

提出的方法

• 通过将问题约化为 $$\mathbb{R}^2$$ 中的一类非交叉对象族，为 $$\mathbb{R}^3$$ 中多面体平移所诱导的集合系统构造大小为 $O(1/\epsilon)$ 的 $\epsilon$-网。
• 利用 $\epsilon$-网构造方法，通过加权 $\epsilon$-网计算，推导出命中集问题的常数因子近似。
• 利用原始集合系统 $(P, \mathcal{T})$ 及其对偶 $(\mathcal{T}, P^*)$ 之间的对偶性，将集合覆盖问题约化为对偶系统上的命中集问题。
• 应用线性规划公式来计算权重和 $\epsilon$ 值，以获得具有常数近似保证的命中集。
• 将 Matoušek 等人针对伪圆盘的 $\epsilon$-网算法推广至由多面体平移导出的非交叉对象设置。
• 使用迭代权重加倍法（Brönnimann-Goddard 算法）或基于线性规划的权重分配方法，找到具有常数近似比的命中集。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为 $$\mathbb{R}^3$$ 中多面体平移的集合覆盖问题设计出常数因子近似算法？
• RQ2 对于 $$\mathbb{R}^3$$ 中多面体平移的命中集问题，即使多面体为非凸或非肥硕，是否仍可实现常数因子近似？
• RQ3 能否为 $$\mathbb{R}^3$$ 中多面体平移所诱导的范围空间构造大小为 $O(1/\epsilon)$ 的 $\epsilon$-网？
• RQ4 当原始集合系统由 3D 中多面体的平移诱导时，集合覆盖与命中集之间的对偶性是否仍然保持？
• RQ5 $$\mathbb{R}^3$$ 中多面体平移的对偶集合系统的 VC-维数是多少？其是否保持有界？

主要发现

• $$\mathbb{R}^3$$ 中多面体平移所诱导的集合系统存在大小为 $O(1/\epsilon)$ 的 $\epsilon$-网，其大小在常数因子范围内最优。
• 存在一个多项式时间的常数因子近似算法，适用于 $$\mathbb{R}^3$$ 中多面体平移的命中集问题。
• 通过与命中集问题的对偶性，存在一个多项式时间的常数因子近似算法，适用于 $$\mathbb{R}^3$$ 中多面体平移的集合覆盖问题。
• 由 $$\mathbb{R}^3$$ 中多面体平移所诱导的集合系统的对偶集合系统，同样由多面体的平移所诱导，从而保持了几何结构。
• $$\epsilon$$-网的构造依赖于将 3D 问题约化为 2D 中的非交叉对象，并推广伪圆盘的 $$\epsilon$$-网算法。
• 本研究将先前关于半空间和伪圆盘的 $$\epsilon$$-网工作推广到更一般的 3D 任意多面体情形，包括非凸和非肥硕多面体。