[论文解读] Geometric structures and Lie algebroids

Ralph L. Klaasse|arXiv (Cornell University)|Dec 27, 2017

Advanced Topics in Algebra参考文献 76被引用 6

一句话总结

本论文提出 $\nabla$-李代数胚作为框架，通过将奇点结构嵌入至奇点被吸收的李代数胚中，以解决泊松、达西及广义复几何结构中的奇点问题。核心贡献是克雷尼克与梅斯特分裂定理的 $\nabla$-类比，利用欧勒型向量场与 $\nabla$-提升构造 $\nabla$-横截子流形附近的局部模型，使辛与泊松技巧可应用于奇点情形。

ABSTRACT

In this thesis we study geometric structures from Poisson and generalized complex geometry with mild singular behavior using Lie algebroids. The process of lifting such structures to their Lie algebroid version makes them less singular, as their singular behavior is incorporated in the anchor of the Lie algebroid. We develop a framework for this using the concept of a divisor, which encodes the singularities, and show when structures exhibiting such singularities can be lifted to a Lie algebroid built out of the divisor. Once one has successfully lifted the structure, it becomes possible to study it using more powerful techniques. In the case of Poisson structures one can turn to employing symplectic techniques. These lead for example to normal form results for the underlying Poisson structures around their singular loci. In this thesis we further adapt the methods of Gompf and Thurston for constructing symplectic structures out of fibration-like maps to their Lie algebroid counterparts. More precisely, we introduce the notion of a Lie algebroid Lefschetz fibration and show when these give rise to A-symplectic structures for a given Lie algebroid A. We then use this general result to show how log-symplectic structures arise out of achiral Lefschetz fibrations. Moreover, we introduce the concept of a boundary Lefschetz fibration and show when they allow their total space to be equipped with a stable generalized complex structure. Other results in this thesis include homotopical obstructions to the existence of A-symplectic structures using characteristic classes, and splitting results for A-Lie algebroids (i.e., Lie algebroids whose anchor factors through that of a fixed Lie algebroid A), around specific transversal submanifolds.

研究动机与目标

• 通过将奇点结构嵌入至奇点被吸收的李代数胚中，建立研究具有温和奇点的几何结构的框架。
• 通过在 $\nabla$-李代数胚上构造非退化结构，将辛与泊松技巧推广至奇点情形。
• 建立李代数胚经典分裂定理的 $\nabla$-类比，实现对横截子流形附近局部模型的构造。
• 提供系统化方法，利用 $\nabla$-结构对奇点几何结构（如对数泊松、折叠辛、稳定广义复结构）进行提升与化解。
• 将经典微分几何工具——如莫泽技巧与莱夫谢茨纤维化——推广至 $\nabla$-李代数胚框架，以实现此类结构的构造与分类。

提出的方法

• 引入 $\nabla$-锚定向量丛与 $\nabla$-李代数胚，作为李代数胚的推广，其中锚定映射通过联络 $\nabla$ 提升。
• 定义子流形的 $\nabla$-横截性，并通过强管状邻域嵌入拉回法丛，构造 $\nabla$-线性近似。
• 利用截面的 $\nabla$-提升构造李代数胚上的无穷小自同构 $\tilde{V}$，使其在 $\nabla$-横截子流形上具有欧勒型性质。
• 通过 $\nabla$-提升与强管状邻域，应用经典分裂定理的 $\nabla$-类比，构造 $\nabla$-李代数胚的局部模型。
• 在 $\nabla$-框架下应用莫泽型技巧与莱夫谢茨纤维化，构造 $\nabla$-辛与 $\nabla$-广义复结构。
• 利用特征类与稳定丛同构推导 $\nabla$-南伯与 $\nabla$-几乎复结构存在的同伦障碍。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否将对数泊松或折叠辛等奇点几何结构化解为李代数胚上的非退化结构？
• RQ2 $\nabla$-李代数胚的经典分裂定理的 $\nabla$-类比是什么？其在 $\nabla$-横截子流形上的应用如何？
• RQ3 如何通过纤维化与莫泽技巧构造 $\nabla$-辛与 $\nabla$-广义复结构？
• RQ4 给定 $\nabla$-李代数胚上 $\nabla$-南伯或 $\nabla$-几乎复结构存在的同伦障碍是什么？
• RQ5 $\nabla$-框架能否用于提升与分类具有除子型奇点的达西与泊松结构？

主要发现

• $\nabla$-李代数胚的分裂定理类比已建立：对任意 $\nabla$-横截子流形 $N \to X$，存在唯一的 $\nabla$-锚定向量丛同构 $\tilde{\rho}: p^!i^!E_{\nabla} \to E_{\nabla}|_U$，其基映射为强管状邻域嵌入。
• 对于 $\nabla$-李代数胚，该结果同样成立为 $\nabla$-李代数胚同构，确保与李代数胚结构相容。
• 存在在 $\nabla$-横截子流形上为欧勒型的无穷小自同构 $\tilde{V} \to \nabla$-李代数胚，从而实现局部模型的构造。
• 此类 $\tilde{V}$ 的存在性由锚定映射的 $\nabla$-提升与 $\nabla$-锚定丛的 $\nabla$-对合性保证。
• $\nabla$-辛与 $\nabla$-广义复结构的构造通过 $\nabla$-莱夫谢茨纤维化与边界映射实现，推广了经典方法。
• 通过稳定丛同构的特征类，计算了 $\nabla$-南伯或 $\nabla$-几乎复结构存在的同伦障碍。