[论文解读] Geometric structures modeled on affine hypersurfaces and generalizations of the Einstein Weyl and affine hypersphere equations

Daniel J. F. Fox|arXiv (Cornell University)|Sep 10, 2009

Advanced Differential Geometry Research被引用 4

一句话总结

本文引入爱因斯坦 AH（仿射超曲面）结构作为统一 Weyl 结构与平坦仿射空间中仿射超曲面内在几何的几何框架。它推广了爱因斯坦-Weyl 方程，并证明：当且仅当底层面为仿射球面时，AH 结构才是爱因斯坦的。该工作在凸平坦实射影结构上建立了爱因斯坦 AH 结构的存在性结果，并通过交换非结合代数构造了非 Weyl 例子，扩展了数量曲率分类，并为 AH 结构引入了广义 Bach 张量。

ABSTRACT

An affine hypersurface (AH) structure is a pair comprising a conformal structure and a projective structure such that for any torsion-free connection representing the projective structure the completely trace-free part of the covariant derivative of any metric representing the conformal structure is completely symmetric. AH structures simultaneously generalize Weyl structures and abstract the geometric structure determined on a non-degenerate co-oriented hypersurface in flat affine space by its second fundamental form together with either the projective structure induced by the affine normal or that induced by the conormal Gauss map. There are proposed notions of Einstein equations for AH structures which for Weyl structures specialize to the usual Einstein Weyl equations and such that the AH structure induced on a non-degenerate co-oriented affine hypersurface is Einstein if and only if the hypersurface is an affine hypersphere. It is shown that a convex flat projective structure admits a metric with which it generates an Einstein AH structure, and examples are constructed on mean curvature zero Lagrangian submanifolds of certain para-Kähler manifolds. The rough classification of Riemannian Einstein Weyl structures by properties of the scalar curvature is extended to this setting. Known estimates on the growth of the cubic form of an affine hypersphere are partly generalized. The Riemannian Einstein equations are reformulated in terms of a given background metric as an algebraically constrained elliptic system for a cubic tensor. From certain commutative nonassociative algebras there are constructed examples of exact Riemannian signature Einstein AH structures with self-conjugate curvature but which are not Weyl and are neither projectively nor conjugate projectively flat.

研究动机与目标

• 通过一种称为 AH 结构的新几何结构，统一 Weyl 结构与平坦仿射空间中仿射超曲面的内在几何。
• 为 AH 结构定义并研究广义爱因斯坦-Weyl 方程的爱因斯坦方程。
• 证明：在平坦仿射空间中，超曲面所诱导的 AH 结构为爱因斯坦结构，当且仅当该超曲面为仿射球面。
• 构造超出 Weyl 与仿射超曲面类型的爱因斯坦 AH 结构的新例子，特别是利用交换非结合代数。
• 扩展数量曲率分类，并类比共形几何，将 Bach 张量推广至 AH 结构。

提出的方法

• 将 AH 结构定义为一对结构：一个共形结构与一个射影结构，且共形类中度量的协变导数满足特定的无迹对称性条件。
• 将爱因斯坦 AH 方程定义为关于一个三阶张量的代数约束椭圆型偏微分方程组，使用背景度量。
• 在 para-Kähler 空间形式中的平均曲率为零的拉格朗日子流形上，以及在凸平坦实射影结构上构造例子。
• 利用交换非结合代数生成精确的爱因斯坦 AH 结构，其曲率具有自共轭性，但既非 Weyl 结构也非射影平坦。
• 通过在无迹对称张量上的曲率算子推导广义 Bach 算子，并证明其在 Codazzi 射影结构下保持不变。
• 应用 Weitzenböck 型恒等式与微分算子，重新表述爱因斯坦方程，并分析三阶扭张量的增长行为。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下 AH 结构为爱因斯坦结构？该条件如何退化为爱因斯坦-Weyl 方程？
• RQ2 在平坦仿射空间中的超曲面所诱导的 AH 结构为爱因斯坦结构的条件是什么？这对应何种几何性质？
• RQ3 非 Weyl 的爱因斯坦 AH 结构是否存在？若存在，如何利用代数结构构造它们？
• RQ4 数量曲率性质如何对紧致流形上的爱因斯坦 AH 结构进行分类？该分类如何扩展 Weyl 结构的 Bochner 型分类？
• RQ5 AH 结构的 Bach 张量的适当推广是什么？它与曲率算子及无散度条件有何关联？

主要发现

• 当且仅当平坦仿射空间中的底层面为仿射球面时，AH 结构才是爱因斯坦结构，从而建立了深刻的几何刻画。
• 每个凸平坦实射影结构均自然地关联一对共轭的爱因斯坦 AH 结构。
• 非 Weyl 的爱因斯坦 AH 结构存在，并可通过交换非结合代数构造，其例子表现出自共轭曲率但并非射影平坦。
• 黎曼型爱因斯坦 AH 方程被重新表述为关于三阶张量的代数约束椭圆型系统，从而可进行分析处理。
• 为 AH 结构定义了广义 Bach 张量，且在四维情形下，对于具有自共轭曲率的闭合爱因斯坦 AH 结构，该张量为零。
• 对仿射球面上三阶扭张量的增长行为进行了部分推广，其行为与曲率算子及微分恒等式相关联。