[论文解读] Geometric structures on nilpotent Lie groups: on their classification and a distinguished compatible metric

Jorge Lauret|ArXiv.org|Oct 9, 2002

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 24被引用 4

一句话总结

本文引入了在赋予不变几何结构（如辛、复、超复）的幂零李群上，最小相容黎曼度量的概念。通过在固定标量曲率下最小化不变里奇张量的范数，证明了最小度量在等距和缩放下唯一，是自然变分问题的临界点，并对应于不变里奇流的孤立子解。该方法利用矩映射和几何不变理论，通过半代数商与不变多项式对这类结构进行分类。

ABSTRACT

Let N be a nilpotent Lie group and let S be an invariant geometric structure on N (cf. symplectic, complex or hypercomplex). We define a left invariant Riemannian metric on N compatible with S to be "minimal", if it minimizes the norm of the invariant part of the Ricci tensor among all compatible metrics with the same scalar curvature. We prove that minimal metrics (if any) are unique up to isometry and scaling, they develop soliton solutions for the invariant Ricci flow and are characterized as the critical points of a natural variational problem. The uniqueness allows us to distinguish geometric structures with Riemannian data, giving rise to a great deal of invariants. Our approach proposes to vary Lie brackets and our main tool is the moment map for the action of a reductive Lie group on the algebraic variety of all Lie algebras, which we show to coincide with the Ricci operator. We therefore can use strong results from geometric invariant theory to study compatible metrics and the moduli space of isomorphism classes of geometric structures.

研究动机与目标

• 确定与幂零李群上给定不变几何结构相容的典范黎曼度量。
• 定义并表征一种‘最佳’度量——即在固定标量曲率下，最小化不变里奇张量范数的度量。
• 利用特殊黎曼数据对幂零李群上的几何结构进行同构类的分类。
• 证明最小度量在等距和缩放下唯一，并且是自然变分问题的临界点。
• 将此类结构的模空间表示为若干个半代数簇的不交并，每个均同胚于约化群作用的范畴商。

提出的方法

• 将最小度量定义为在固定标量曲率下，使 $\|\operatorname{ric}^\gamma_{\langle\cdot,\cdot\rangle}\|^2$ 最小化的相容度量。
• 利用约化李群在李代数族上的作用的矩映射，该映射在此设定下与里奇算子重合。
• 应用几何不变理论的强结果，分析几何结构模空间的结构。
• 将最小度量表征为涉及里奇张量与标量曲率的变分问题的临界点。
• 证明最小度量是不变里奇孤立子，即在归一化里奇流下其等距类保持不变。
• 将具有最小相容度量的几何结构同构类的模空间表示为若干个半代数簇的不交并，每个均同胚于线性约化群作用的范畴商。

实验结果

研究问题

• RQ1 在幂零李群上，与给定不变几何结构相容的典范黎曼度量是什么？
• RQ2 能否为这类结构定义唯一的、显著的度量？若能，其条件是什么？
• RQ3 如何对幂零李群上几何结构的同构类模空间进行分类？
• RQ4 最小度量与不变里奇流之间有何关系？
• RQ5 如何利用不变多项式来区分幂零李群上的几何结构？

主要发现

• 对于任何存在此类度量的 γ-类幂零李群，最小度量存在且在等距和缩放下唯一。
• 最小度量是固定标量曲率下泛函 $\|\operatorname{ric}^\gamma_{\langle\cdot,\cdot\rangle}\|^2$ 的临界点，因此在变分意义下是最优的。
• 最小度量是不变里奇孤立子，意味着归一化不变里奇流保持其等距类不变。
• 存在最小相容度量的几何结构同构类的模空间是若干个半代数簇的不交并，每个均同胚于约化群作用的范畴商。
• 通过不变多项式可区分这些结构，提供了一种强大的代数分类工具。
• 在此设定下，约化群在李代数族上的作用的矩映射与里奇算子重合，从而可应用几何不变理论。