[论文解读] Geometric supergravitty

Riccardo D’Auria|arXiv (Cornell University)|May 27, 2020

Noncommutative and Quantum Gravity Theories参考文献 35被引用 5

一句话总结

本文通过在（超）群流形上直接构建引力与超引力理论，采用微分形式与广义作用量原理的嘉当形式体系，提出了一种超引力的几何表述。通过在更大的群流形的D维子流形上积分D-形式拉格朗日量，该方法自然地通过因子分解与雷诺米（rheonomy）机制实现洛伦兹不变性与超对称性——这些几何机制将规范不变性、微分同胚不变性与超对称性统一于单一的群论框架之中。

ABSTRACT

A review of the group manifold geometric approach to Supergravity appeared on the book "Tullio Regge:an Eclectic Genius, From Quantum Gravity to Computer Play"

研究动机与目标

• 通过嘉当形式体系，在全纯几何与群论框架下重新表述超引力。
• 通过在规范群的群流形上直接构建引力与规范理论，而非在时空上，实现引力与规范理论的统一。
• 通过超空间中的雷诺米概念，为超对称性提供几何解释。
• 利用自由微分代数将Maurer-Cartan方程推广至更高阶p-形式，以描述具有高阶规范场的理论。
• 表明洛伦兹不变性与超对称性可从作用量原理中动态涌现，而非作为强制对称性引入。

提出的方法

• 在庞加莱或超庞加莱群流形上，使用微分形式的嘉当形式体系表述引力与超引力。
• 将规范场定义为（超）群的余伴表示中嘉当-毛瑞尔1-形式的分量。
• 在嵌入于（超）群流形中的D维子流形上积分D-形式拉格朗日量，以恢复物理时空。
• 使用广义作用量原理强制洛伦兹方向与费米子方向曲率的水平性，从而导致因子分解与雷诺米机制。
• 应用李代数上同调，将Maurer-Cartan方程推广至更高阶p-形式，从而实现对具有p-形式规范场的理论的描述。
• 推导出场方程，动态确定规范场对时空与内部群坐标依赖关系。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何通过单一几何原理，统一微分同胚不变性、局部洛伦兹不变性与超对称性，以实现引力与超引力的几何表述？
• RQ2 群流形结构在通过作用量原理动态生成洛伦兹不变性与超对称性中扮演何种角色？
• RQ3 雷诺米概念——超曲率在费米子方向上线性依赖于时空曲率——如何为超对称性提供几何基础？
• RQ4 能否通过Maurer-Cartan方程的推广，系统地描述超引力中的高阶p-形式规范场？
• RQ5 在更大群流形的子流形上积分D-形式拉格朗日量，如何导致一致的物理场方程？

主要发现

• 当拉格朗日量在（超）群流形的D维子流形上积分时，洛伦兹不变性与超对称性可从作用量原理中动态涌现。
• 因子分解机制通过求解强制洛伦兹方向曲率水平性的场方程，实现从完整群流形中提取物理时空。
• 雷诺米——超曲率在费米子方向上线性依赖于时空曲率——为超对称性提供了几何解释，并允许将超空间微分同胚与时空超对称变换相联系。
• 源自李代数上同调的自由微分代数，将Maurer-Cartan方程推广至更高阶p-形式，从而实现对具有p-形式规范场的超引力的几何表述。
• 该几何方法成功预测并构造了此前未知的超引力理论，如N=3, D=4与N=2, D=6超引力，并揭示了与Picard-Fuchs方程及单值群等数学结构的深层联系。
• 该方法带来了出人意料的物理洞见，例如发现D=4中N=2超引力与石墨烯电子性质之间的联系，并为D=10中无异常超引力提供了自洽框架。