[论文解读] Geometric variants of the Hofer norm

Dusa McDuff|ArXiv.org|Mar 14, 2001

Geometric and Algebraic Topology参考文献 8被引用 10

一句话总结

本文引入了辛流形上哈密顿群的霍弗范数的几何变体，通过在 $S^2$ 上的纤维化辛纤维丛定义单边半范数。证明了在 $C^2$ 拓扑下，当元素足够接近单位元时，霍弗范数在所有路径中实现最小长度，而不仅限于同伦类内，从而确立了真正测地线的存在性。关键贡献是针对短闭路的加权非压缩定理，该定理在 $\mathbb{C}P^n$ 或弱精确流形等特定情形下，意味着半范数的非退化性。

ABSTRACT

This note discusses some geometrically defined seminorms on the group $\Ham(M, ω)$ of Hamiltonian diffeomorphisms of a closed symplectic manifold $(M, ω)$, giving conditions under which they are nondegenerate and explaining their relation to the Hofer norm. As a consequence we show that if an element in $\Ham(M, ω)$ is sufficiently close to the identity in the $C^{2}$-topology then it may be joined to the identity by a path whose Hofer length is minimal among all paths, not just among paths in the same homotopy class relative to endpoints. Thus, true geodesics always exist for the Hofer norm. The main step in the proof is to show that a "weighted" version of the nonsqueezing theorem holds for all fibrations over $S^2$ generated by sufficiently short loops.Further, an example is given showing that the Hofer norm may differ from the sum of the one sided seminorms.

研究动机与目标

• 研究哈密顿群 $\mathrm{Ham}(M,\omega)$ 上几何定义的半范数，特别是霍弗范数的单边与双边变体。
• 确定这些半范数非退化的条件，尤其与霍弗范数的关系。
• 通过分析 $C^2$-拓扑下单位元附近的路径，确立霍弗范数真正测地线的存在性。
• 将非压缩定理推广至由短闭路生成的 $S^2$ 上的加权纤维丛，利用改进的西德尔表示。
• 比较霍弗范数与单边半范数之和，表明二者可能不同。

提出的方法

• 将单边半范数 $\rho^+(\phi)$ 和 $\rho^-(\phi)$ 定义为从 $\mathrm{id}$ 到 $\phi$ 的哈密顿路径的 $\mathcal{L}^+(H_t)$ 和 $\mathcal{L}^-(H_t)$ 的下确界，其中 $\mathcal{L}^\pm$ 衡量相对于平均值的正负偏差。
• 利用改进的西德尔表示 $\Psi: \pi_1(\mathrm{Ham}) \to (QH_{\mathrm{ev}}(M))^\times$ 分析量子上同调环，并检测纤维丛中非平凡的全纯曲线。
• 通过证明某些截面类由于陈类约束而不可能存在，证明了由短闭路生成的辛纤维丛 $P \to S^2$ 的加权非压缩定理。
• 应用格罗莫夫紧性与全纯曲线分析，排除具有负垂直陈数的全纯代表，从而证明半范数的非退化性。
• 在量子上同调上使用赋值论证，以界定 $\rho^+(k\alpha)$ 和 $\rho^-(k\alpha)$，尤其在 $M_* = \mathbb{C}P^2 \# \overline{\mathbb{C}P}^2$ 且参数为 $a$ 的情形下。
• 通过在 $M_*$ 上构造显式例子，证明霍弗范数可能与单边半范数之和 $\rho^+(\phi) + \rho^+(\phi^{-1})$ 不同。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，霍弗范数的几何变体是非退化的？
• RQ2 霍弗范数是否存在真正测地线，即在所有路径中实现最小霍弗长度，而不仅限于同伦类内？
• RQ3 由短闭路生成的 $S^2$ 上的辛纤维丛是否存在加权非压缩定理？
• RQ4 改进的西德尔表示如何检测非平凡的辛纤维丛并约束全纯曲线的行为？
• RQ5 霍弗范数是否可能与单边半范数之和 $\rho^+(\phi) + \rho^+(\phi^{-1})$ 不同？

主要发现

• 对于 $\mathrm{Ham}(M,\omega)$ 中在 $C^2$-拓扑下足够接近单位元的任意元素，存在一条路径在所有路径中实现最小霍弗长度，而不仅限于同伦类内，从而证明了真正测地线的存在性。
• 定义为单边半范数之和的半范数 $\rho_f$ 始终非退化，而 $\rho^+(\phi) + \rho^+(\phi^{-1})$ 仅在特殊条件下（如 $M = \mathbb{C}P^n$ 或弱精确流形）非退化。
• 对于由足够短的闭路生成的 $S^2$ 上的纤维丛，加权非压缩定理成立，这对证明半范数的非退化性至关重要。
• 在 $M_* = \mathbb{C}P^2 \# \overline{\mathbb{C}P}^2$ 且辛形式为 $\omega_a$ 的情形下，闭路 $2\alpha$ 的最小长度为 $\pi(1 - a^2)$，与 $\omega(F)$ 一致，且该值可由哈密顿闭路实现。
• 当 $k \to \infty$ 时，单边增长率 $\ell^+(k\alpha)/k$ 的下确界为 $\frac{(1 - a^2)^2}{12(1 + a^2)}$，表明存在与 $a < 1$ 无关的非平凡下界，而对 $k \to -\infty$ 则未获得此类下界。
• 霍弗范数 $\rho(\phi)$ 可能与和 $\rho^+(\phi) + \rho^+(\phi^{-1})$ 不同，如在 $M_*$ 上的显式例子所示，二者不相等。