[论文解读] Geometrical and fractal properties of a class of systems with spiral trajectories in R^3

Luka Korkut, Domagoj Vlah+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 5, 2012

Mathematical Dynamics and Fractals被引用 2

一句话总结

本文通过引入振荡维数和相位维数作为解在无穷远处行为的度量，研究了 R^3 中螺旋轨迹的分形几何。它利用相应平面二阶系统的相位维数，计算了位于 Hölder 或 Lipschitz 曲面上的空间螺旋轨迹的盒维数，将该维数与 Poincaré 映射的渐近性态联系起来，并在极限环分岔过程中，对具有零特征值和纯虚特征值的约化正规形式，显式计算了盒维数。

ABSTRACT

Here we study a class of second-order nonautonomous differential equations, and the corresponding planar and spatial systems, from the point of view of fractal geometry. The fractal oscillatority of solutions at infinity is measured by oscillatory and phase dimensions. The oscillatory dimension is defined as the box dimension of the reflected solution near the origin, while the phase dimension is defined as the box dimension of a trajectory of the corresponding planar system in the phase plane. Using the phase dimension of the second-order equation we compute the box dimension of a spiral trajectory of the spatial system, lying in Lipschitzian or H olderian surfaces. This phase dimension of the second-order equation is connected to the asymptotics of the associated Poincare map. Also, the box dimension of a trajectory of the reduced normal form with one eigenvalue equals to zero, and a pair of pure imaginary eigenvalues has been computed when limit cycles bifurcate from the origin.

研究动机与目标

• 通过维数理论工具分析三维空间中螺旋轨迹的分形几何。
• 定义并计算振荡维数和相位维数，作为解在无穷远处振荡行为的度量。
• 将二阶平面系统的相位维数与位于 Hölder 或 Lipschitz 曲面上的空间螺旋轨迹的盒维数联系起来。
• 建立 Poincaré 映射渐近行为与轨迹分形维数之间的联系。
• 在极限环分岔过程中，计算具有一个零特征值和一对纯虚特征值的约化正规形式中轨迹的盒维数。

提出的方法

• 将振荡维数定义为解在原点附近反射后的盒维数。
• 将相位维数定义为对应平面二阶系统在相平面上的轨迹的盒维数。
• 利用相位维数计算位于 Hölder 或 Lipschitz 曲面上的 R^3 中螺旋轨迹的盒维数。
• 将相位维数与对应二阶方程的 Poincaré 映射的渐近行为联系起来。
• 分析具有一个零特征值和一对纯虚特征值的约化正规形式，以计算极限环分岔过程中轨迹的盒维数。
• 应用分形几何工具，特别是盒维数，以表征无穷远处轨迹的振荡与几何复杂性。

实验结果

研究问题

• RQ1 位于 Hölder 或 Lipschitz 曲面上的 R^3 中螺旋轨迹的分形维数是多少？它与对应平面系统的相位维数有何关系？
• RQ2 二阶非自治系统相位维数与 Poincaré 映射渐近性态之间有何关系？
• RQ3 在极限环分岔过程中，具有一个零特征值和一对纯虚特征值的约化正规形式中轨迹的盒维数是多少？
• RQ4 振荡维数和相位维数如何量化解在无穷远处的分形振荡性？
• RQ5 能否从对应平面系统的相平面动力学计算空间螺旋轨迹的盒维数？

主要发现

• 二阶平面系统的相位维数决定了对应位于 Hölder 或 Lipschitz 曲面上的空间螺旋轨迹的盒维数。
• 相位维数与 Poincaré 映射的渐近行为相关联，为分形维数提供了动力学解释。
• 对于具有一个零特征值和一对纯虚特征值的约化正规形式，在极限环分岔过程中，轨迹的盒维数被显式计算出来。
• 振荡维数（定义为原点附近反射解的盒维数）提供了无穷远处分形振荡性的度量。
• 即使曲面不光滑，R^3 中螺旋轨迹的盒维数仍是有限的且可通过平面系统的相位维数计算得出。
• 研究结果建立了轨迹分形几何与系统动力学性质之间的直接联系，特别是通过 Poincaré 映射的渐近性态。