[论文解读] Geometrical and measure-theoretic structures of maps with mostly expanding center

Jiagang Yang|arXiv (Cornell University)|Apr 24, 2019

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 39被引用 11

一句话总结

本文为具有主要扩张中心的$C^{1+α}$部分双曲微分同胚建立了一个称为'骨架'的几何-组合结构，该结构确定了物理测度的数量、域以及其支集。本文证明了赫尔德观测函数的指数相关衰减，并表明在邻域的一个$C^1$剩余子集中，存在有限个物理测度，其勒贝格测度基域为全集。

ABSTRACT

In this paper we study physical measures for $\C^{1+α}$ partially hyperbolic diffeomorphisms with mostly expanding center. We show that every diffeomorphism with mostly expanding center direction exhibits a geometrical-combinatorial structure, which we call skeleton, that determines the number, basins and supports of the physical measures. Furthermore, the skeleton allows us to describe how physical measures bifurcate as the diffeomorphism changes under $C^1$ topology. Moreover, for each diffeomorphism with mostly expanding center, there exists a $C^1$ neighborhood, such that diffeomorphism among a $C^1$ residual subset of this neighborhood admits finitely many physical measures, whose basins have full volume. We also show that the physical measures for diffeomorphisms with mostly expanding center satisfy exponentially decay of correlation for any Hölder observes.

研究动机与目标

• 理解具有主要扩张中心的$C^{1+α}$部分双曲微分同胚的物理测度的几何与测度论结构。
• 通过一种新颖的几何-组合对象'骨架'，刻画物理测度的数量、域以及支集。
• 通过骨架分析物理测度在$C^1$扰动下的分岔行为。
• 为这类系统建立强统计性质，包括相关衰减的指数性质。
• 证明在邻域的一个$C^1$剩余子集中，存在有限个物理测度，且其勒贝格测度基域为全集。

提出的方法

• 引入'骨架'作为有限、不变、组合性的结构，以编码物理测度的动力学信息。
• 利用吉布斯-马尔可夫-杨结构分析系统的统计性质。
• 在中心-不稳定方向应用非一致扩张（b-NUE）概念，以控制相关性的衰减。
• 通过不稳定截面的体积估计，限制双曲时刻的尾部行为，具体为$\operatorname{vol}_D(\mathcal{E}_b > n) = O(e^{-cn})$。
• 应用[5]和[23]的结果，从尾部分布估计推导出相关性的指数衰减。
• 利用不稳定叶状结构的绝对连续性，将截面的体积估计传递到局部不稳定流形上。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何系统地确定具有主要扩张中心的微分同胚的物理测度的数量、域以及支集？
• RQ2 骨架在组织物理测度及其在$C^1$扰动下的分岔行为中起什么作用？
• RQ3 这类系统的物理测度是否表现出如相关衰减的指数性质等强统计性质？
• RQ4 能否保证在$C^1$剩余子集中存在有限个物理测度，且其勒贝格测度基域为全集？
• RQ5 在此类系统中，赫尔德观测函数的相关衰减速率是多少？

主要发现

• 骨架唯一确定了具有主要扩张中心的$C^{1+α}$微分同胚的物理测度的数量、域以及支集。
• 对每个此类微分同胚，存在一个$C^1$邻域，其中某个剩余子集包含有限个物理测度，每个测度的体积基域均为全集。
• 这些系统的物理测度表现出相关衰减的指数性质：对赫尔德连续函数$\phi$和$\psi \in L^\infty$，有$C_\mu(\phi, \psi \circ f^n) = O(e^{-dn})$。
• 衰减速率与双曲时刻的尾部分布相关：$\operatorname{vol}_D(\mathcal{E}_{b_0} > n) = O(e^{-\delta' n})$，意味着在幂律衰减估计中$\tau = 1$。
• 对$C^2$、可访问且体积保持的微分同胚，若中心李雅普诺夫指数非零，则体积测度为伯努利测度。
• 物理测度作为不稳定流形上正测度子集的迭代像的体积平均的弱*极限获得。