[论文解读] Geometrical aspects of lattice gauge equivariant convolutional neural networks

Jimmy Aronsson, David I. Müller+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 20, 2023

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一句话总结

本文通过结合全局晶格对称性（如旋转和反射）与规范不变性，将晶格规范等变卷积神经网络（L-CNNs）扩展至全群等变，实现了对晶格规范等变卷积神经网络的几何化表述，将其视为在 SU(N) 主丛上的离散化规范等变网络，统一了平移、旋转和规范对称性于单一框架之中。

ABSTRACT

Lattice gauge equivariant convolutional neural networks (L-CNNs) are a framework for convolutional neural networks that can be applied to non-Abelian lattice gauge theories without violating gauge symmetry. We demonstrate how L-CNNs can be equipped with global group equivariance. This allows us to extend the formulation to be equivariant not just under translations but under global lattice symmetries such as rotations and reflections. Additionally, we provide a geometric formulation of L-CNNs and show how convolutions in L-CNNs arise as a special case of gauge equivariant neural networks on SU($N$) principal bundles.

研究动机与目标

• 将 L-CNNs 从仅平移等变扩展至包含旋转和反射等全局晶格对称性的全群等变。
• 利用纤维丛理论和主丛对 L-CNNs 进行几何化表述。
• 在单一神经网络架构中统一规范等变性与全局群等变性。
• 证明 L-CNN 卷积是 SU(N) 主丛上连续规范等变卷积的离散化版本。
• 识别出能同时描述全局与局部对称性的正确主丛结构，此问题留待未来研究。

提出的方法

• 将群等变卷积神经网络（G-CNN）方法适配至 L-CNNs，以实现对超立方晶格全全局对称群 G 的等变性。
• 提出一种作用于张量场的规范等变卷积，其在平移、旋转和反射下保持等变。
• 在卷积定义中引入平行移动，以保持局部规范对称性。
• 通过与 SU(N) 主丛上的规范等变神经网络的关联，推导出 L-CNNs 的几何结构。
• 将特征图的定义域扩展至全群 G，虽增加计算成本，但实现了全对称性等变。
• 分析输入数据的丛结构，识别不同规范群表示对应的伴随丛。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将 L-CNNs 扩展为对晶格全全局对称群（包括旋转和反射）等变，而不仅限于平移？
• RQ2 L-CNNs 在纤维丛和时空上 SU(N) 主丛的几何解释是什么？
• RQ3 L-CNN 卷积能否被理解为 SU(N) 主丛上连续规范等变卷积的离散化？
• RQ4 何种主丛结构能同时正确描述全局晶格对称性与局部 SU(N) 规范对称性？
• RQ5 全群等变性的计算成本与标准 L-CNNs 相比如何？

主要发现

• 所提出的 L-CNN 扩展实现了对全全局对称群 G 的等变性，包括平移、旋转和反射，而不仅限于原始形式中的平移。
• 该框架表明，L-CNN 卷积是 SU(N) 主丛上规范等变卷积的特例，为该架构提供了几何基础。
• 该方法要求将特征图的定义域扩展至全群 G，导致内存与计算成本高于标准 L-CNNs。
• L-CNN 中的输入数据对应于主丛上伴随丛的截面，其结构群为 SU(N)，基空间为晶格。
• 曾考虑过涉及 G × SU(N) 的候选主丛，但因与群等变 L-CNN 结构不兼容而被排除。
• 本文指出需要更广泛的丛理论框架，以同时描述全局与局部对称性，此问题留待未来工作解决。