[论文解读] Geometrical Formulation of Quantum Mechanics

Abhay Ashtekar, Troy A. Schilling|ArXiv.org|Jun 23, 1997

Quantum Mechanics and Applications参考文献 18被引用 27

一句话总结

本文通过将量子态表示为凯勒流形上的点，对量子力学进行了几何重述，其中可观测量为实值函数，时间演化由辛哈密顿流控制。主要贡献在于提出了一套统一的微分几何框架，阐明了经典力学与量子力学的根本区别，揭示了第二次量子化和WKB近似的全新洞见，并暗示了标准形式之外更深层次的量子理论推广。

ABSTRACT

States of a quantum mechanical system are represented by rays in a complex Hilbert space. The space of rays has, naturally, the structure of a Kähler manifold. This leads to a geometrical formulation of the postulates of quantum mechanics which, although equivalent to the standard algebraic formulation, has a very different appearance. In particular, states are now represented by points of a symplectic manifold (which happens to have, in addition, a compatible Riemannian metric), observables are represented by certain real-valued functions on this space and the Schrödinger evolution is captured by the symplectic flow generated by a Hamiltonian function. There is thus a remarkable similarity with the standard symplectic formulation of classical mechanics. Features---such as uncertainties and state vector reductions---which are specific to quantum mechanics can also be formulated geometrically but now refer to the Riemannian metric---a structure which is absent in classical mechanics. The geometrical formulation sheds considerable light on a number of issues such as the second quantization procedure, the role of coherent states in semi-classical considerations and the WKB approximation. More importantly, it suggests generalizations of quantum mechanics. The simplest among these are equivalent to the dynamical generalizations that have appeared in the literature. The geometrical reformulation provides a unified framework to discuss these and to correct a misconception. Finally, it also suggests directions in which more radical generalizations may be found.

研究动机与目标

• 通过射影希尔伯特空间的自然凯勒结构，将标准量子力学以几何语言重新表述。
• 通过微分几何结构（如辛形式和黎曼度量）阐明经典力学与量子力学之间的根本差异。
• 为理解并推广各种量子力学扩展（包括非线性薛定谔方程和相干态动力学）提供统一框架。
• 通过具有常全纯截面曲率的无穷维凯勒流形，探索新的量子运动学可能性。
• 研究是否可直接从类经典相空间定义几何量化过程，而无需先假设希尔伯特空间的存在。

提出的方法

• 将量子态表示为复希尔伯特空间中的射线，其自然形成具有辛结构与黎曼结构的凯勒流形。
• 使用几何对象（哈密顿向量场、实值函数、凯勒度量）重新表达量子公设——态演化、可观测量与测量。
• 利用辛结构将时间演化定义为由哈密顿函数生成的流，类似于经典力学。
• 将广义相干态定义为量子相空间自然丛结构中的水平截面。
• 对量子相空间本身应用几何量化技术，表明第二次量子化对应于(量化)²。
• 通过识别量子相空间上对应于广义量子动力学的明确定义的流，对WKB近似进行几何分析。

实验结果

研究问题

• RQ1 量子力学的公设能否仅通过量子相空间的几何结构重新表述？
• RQ2 量子不确定性和态矢量约化的几何起源是什么？它们与经典动力学有何本质不同？
• RQ3 第二次量子化过程能否被理解为对量子态空间应用几何量化的一种自然结果？
• RQ4 是否存在非平凡的、源自非射影希尔伯特空间的凯勒流形的量子力学可行推广？
• RQ5 是否存在一种直接的几何量化程序，可从类经典相空间构造量子相空间，而无需先假设希尔伯特空间的存在？

主要发现

• 量子态空间构成凯勒流形，赋予其辛结构与黎曼结构，这些结构对捕捉量子特性（如不确定性与测量塌缩）至关重要。
• 量子力学中的时间演化在几何上表现为由哈密顿函数生成的辛流，与经典形式类似，但因黎曼度量的存在而表现出独特的量子行为。
• 广义相干态自然地作为量子相空间丛结构中的水平截面出现，为半经典的态提供了几何表征。
• WKB近似可通过量子相空间上明确定义的流来几何刻画，该流对应于温伯格意义上的广义量子动力学。
• 第二次量子化被证明等价于对量子态空间应用几何量化，从而将该过程实现为(量化)²。
• 可能存在具有常全纯截面曲率（等于2/ħ）但不微分同构于射影希尔伯特空间的无穷维凯勒流形，暗示了新的、可行的量子运动学推广。