[论文解读] Geometrical phases and quantum numbers of solitons in nonlinear sigma-models

Alexander G. Abanov, P. Wiegmann|arXiv (Cornell University)|May 22, 2001

Black Holes and Theoretical Physics被引用 10

一句话总结

该论文表明，非线性 sigma 模型中的孤立子通过有效作用量中的几何相位获得费米子的量子数——自旋和统计性质，这种相位源于轴向异常。关键结果是电荷-自旋-统计对应关系：具有拓扑电荷 Q 的孤立子获得自旋 Q/2 和费米统计性质，其编码方式为非微扰的 theta-项相位，该相位在 2π 旋转或任意统计交换过程中发生 πQ 的相位移动。

ABSTRACT

Solitons of a nonlinear field interacting with fermions often acquire a fermionic number or an electric charge if fermions carry a charge. We show how the same mechanism (chiral anomaly) gives solitons statistical and rotational properties of fermions. These properties are encoded in a geometrical phase, i.e., an imaginary part of a Euclidian action for a nonlinear sigma-model. In the most interesting cases the geometrical phase is non-perturbative and has a form of an integer-valued theta-term.

研究动机与目标

• 建立一种机制，使非线性 sigma 模型中的孤立子获得除电荷之外的费米子量子数。
• 表明非线性 sigma 模型有效作用量中的几何相位编码了孤立子的自旋和统计性质。
• 证明拓扑流及其相关几何相位是孤立子激发中自旋-统计对应关系的根源。
• 阐明轴向异常在生成孤立子中费米子电荷和费米子旋转/统计性质中的作用。
• 通过 CP^M 模型作为代表性例子，将电荷-自旋-统计对应关系推广至任意目标空间和维度。

提出的方法

• 作者采用在 (2+1) 维空间中耦合狄拉克费米子与手征玻色场 n̂ 的费米子 sigma 模型，其中 n̂ 取值于 CP^M。
• 通过积分掉费米子，推导出玻色场的有效作用量，得到一个具有实部和虚部的非局部有效作用量。
• 有效作用量的虚部 ImW 被识别为几何相位，其中包含拓扑流 Jμ 和与绕数 Γ 成比例的 theta-项。
• 通过在扩展的目标空间中进行平滑插值，连接拓扑上不同的配置，实现紫外正则化，从而计算几何相位。
• 通过耦合到拓扑流的规范势，计算 2π 空间旋转或任意 anyon 交换下的相位移动，表明拓扑电荷为 Q 的孤立子发生 πQ 的相位移动。
• 分析扩展至 M=1（即 CP^1 = S^2）和 M>1 的情况，表明相位在两种情况下均为整数值且具有拓扑性质。

实验结果

研究问题

• RQ1 轴向异常如何导致非线性 sigma 模型中孤立子的费米子自旋和统计性质的出现？
• RQ2 非线性 sigma 模型有效作用量中的几何相位在编码孤立子量子数方面起什么作用？
• RQ3 为何几何相位是非微扰且拓扑的，它与作用量中 theta-项的关系是什么？
• RQ4 在绝热过程（如旋转或交换）中，拓扑流 Jμ 如何与孤立子的自旋和统计性质相关联？
• RQ5 电荷-自旋-统计对应关系在不同目标空间和时空维度下具有多大程度的普遍性？

主要发现

• 非线性 sigma 模型有效作用量中的几何相位是非微扰的，其形式为整数值的 theta-项，与孤立子的拓扑电荷直接关联。
• 对拓扑电荷为 Q 的孤立子进行 2π 空间旋转，会引发 πQ 的几何相位移动，对应于 Q/2 的自旋量子数。
• 交换两个孤立子也会导致相同的 πQ 相位移动，表明拓扑电荷为奇数的孤立子服从费米-狄拉克统计。
• 拓扑流 Jμ 通过涉及场 n̂ 及其导数的类陈-西蒙斯表达式定义，并在有效作用量中与外部规范场 Aμ 耦合。
• 对于 CP^M 模型，几何相位由一个拓扑不变量给出，该不变量在连续形变下保持不变，且仅依赖于场配置的同伦类。
• 该结果在 M=1 和 M>1 情况下均成立，其中 M=1 情况对应于霍普夫不变量，且当 M=1 时相位在宇称变换下保持模 2π 不变。