[论文解读] Geometrical Well Posed Systems for the Einstein Equations

Yvonne Choquet–Bruhat, James W. York|arXiv (Cornell University)|Jun 28, 1995

Black Holes and Theoretical Physics被引用 12

一句话总结

本文通过恰当地选择 lapse 函数 $ N $，建立了一个几何框架，将爱因斯坦方程表述为一个适定的一阶对称双曲系统。它表明，对于任意给定的位移，外曲率 $ K $ 满足一个拟线性波动方程，并构建了一个关于 $ \overline{g} $、$ K $ 和 $ N $ 的几何双曲系统，确保在真空时空中的适定性。

ABSTRACT

We show that, given an arbitrary shift, the lapse $N$ can be chosen so that the extrinsic curvature $K$ of the space slices with metric $\overline g$ in arbitrary coordinates of a solution of Einstein's equations satisfies a quasi-linear wave equation. We give a geometric first order symmetric hyperbolic system verified in vacuum by $\overline g$, $K$ and $N$. We show that one can also obtain a quasi-linear wave equation for $K$ by requiring $N$ to satisfy at each time an elliptic equation which fixes the value of the mean extrinsic curvature of the space slices.

研究动机与目标

• 开发爱因斯坦方程的几何适定一阶对称双曲系统。
• 通过恰当地选择 lapse $ N $，证明外曲率 $ K $ 满足一个拟线性波动方程。
• 确保在任意坐标选择和位移条件下的系统保持双曲性和适定性。
• 构建一个具有几何意义且适用于数值相对论和数学分析的系统。
• 提供一个框架，通过在 $ N $ 上求解椭圆方程来固定平均外曲率，从而实现对 $ K $ 的控制。

提出的方法

• 作者推导了空间度量 $ \overline{g} $、外曲率 $ K $ 和 lapse $ N $ 的一阶对称双曲系统。
• 他们证明，对于任意给定的位移向量，若选择 $ N $ 使得 $ K $ 满足拟线性波动方程，则系统是适定的。
• 该系统被构造为具有几何性，即独立于特定坐标选择，并保持广义相对论的微分同胚不变性。
• 引入了一种替代方法，其中通过求解椭圆方程来确定 $ N $，以固定空间片的平均曲率。
• 结果表明该系统是对称双曲的，因此在弗里德里希斯的意义下是适定的。
• 该形式在真空中得到验证，确保与爱因斯坦方程的一致性。

实验结果

研究问题

• RQ1 爱因斯坦方程能否被重述为一个几何的一阶对称双曲系统？
• RQ2 如何选择 lapse 函数 $ N $，以确保外曲率 $ K $ 满足一个拟线性波动方程？
• RQ3 是否可能在任意位移条件下，为 $ \overline{g} $、$ K $ 和 $ N $ 构建一个适定系统？
• RQ4 能否通过在 $ N $ 上求解椭圆方程来控制平均外曲率，且是否能保持双曲性？
• RQ5 该系统在真空时空中是否仍保持几何性和适定性？

主要发现

• 当 lapse $ N $ 针对任意给定的位移被恰当地选择时，外曲率 $ K $ 满足一个拟线性波动方程。
• 构建了一个关于 $ \overline{g} $、$ K $ 和 $ N $ 的几何一阶对称双曲系统，确保了适定性。
• 即使位移是任意的，系统仍保持适定性，表明其在坐标选择上的鲁棒性。
• 通过求解 $ N $ 的椭圆方程，实现了另一种形式，该方法可固定空间片的平均曲率并保持双曲性。
• 所构建的系统在真空中有效，且保持了广义相对论的几何结构。
• 结果为数值相对论和爱因斯坦方程的数学分析提供了基础。