[论文解读] Geometrically bounding 3-manifold, volume and Betti number

Jiming Ma, Fangting Zheng|arXiv (Cornell University)|Apr 10, 2017

Geometric and Algebraic Topology参考文献 16被引用 4

一句话总结

该论文利用线性拼接的十二面体上的小覆盖理论以及Kolpakov、Martelli和Tschantz的研究成果，构造出无穷多个具有指定奇数第一贝蒂数和体积$16nv$（$n \in \mathbb{Z}_+$）的闭合双曲3-流形，这些流形几何地边界化完全测地线的双曲4-流形。关键贡献在于证明了对每个$n$，至少存在$\lceil(5n+3)/2\rceil$个体积为$16nv$的不同几何边界化3-流形，表明此类流形的数量随体积至少呈线性增长。

ABSTRACT

It is well known that an arbitrary closed orientable $3$-manifold can be realized as the unique boundary of a compact orientable $4$-manifold, that is, any closed orientable $3$-manifold is cobordant to zero. In this paper, we consider the geometric cobordism problem: a hyperbolic $3$-manifold is geometrically bounding if it is the only boundary of a totally geodesic hyperbolic 4-manifold. However, there are very rare geometrically bounding closed hyperbolic 3-manifolds according to the previous research [11,13]. Let $v \approx 4.3062\ldots$ be the volume of the regular right-angled hyperbolic dodecahedron in $\mathbb{H}^{3}$, for each $n \in \mathbb{Z}_{+}$ and each odd integer $k$ in $[1,5n+3]$, we construct a closed hyperbolic 3-manifold $M$ with $β^1(M)=k$ and $vol(M)=16nv$ that bounds a totally geodesic hyperbolic 4-manifold. The proof uses small cover theory over a sequence of linearly-glued dodecahedra and some results of Kolpakov-Martelli-Tschantz [9].

研究动机与目标

• 解决关于哪些双曲3-流形几何地边界化完全测地线的双曲4-流形的开放问题。
• 显式构造闭合双曲3-流形族，其第一贝蒂数和体积被指定，并边界化此类4-流形。
• 证明单位体积内几何边界化3-流形的数量至少呈线性增长，从而反驳此类例子稀少的观点。

提出的方法

• 利用$n$重线性拼接的十二面体上的小覆盖理论，构造具有受控拓扑结构的3-流形。
• 通过轨道多面体的$h$-向量，利用$\mathbb{Z}_2^k$-着色对十二面体面进行定义，以计算贝蒂数。
• 应用Kolpakov、Martelli和Tschantz关于具有完全测地线边界的双曲4-流形的研究结果。
• 利用拼接的十二面体序列中贝蒂数的递推关系，生成第一贝蒂数在$[1, 5n+3]$范围内的奇数的流形。
• 在单个十二面体上构造$\mathbb{Z}_2^3$-着色，以实现从1到7的所有奇数贝蒂数。
• 将$\mathbb{Z}_2^3$-着色与自然的$\mathbb{Z}_2^4$-扩展相结合，构建所需的具有完全测地线边界的4维双曲流形。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于具有整数$\eta$-不变量的双曲3-流形，它是否几何地边界化一个完全测地线的双曲4-流形？
• RQ2 具有相同体积的几何边界化3-流形有多少个？
• RQ3 能否系统地构造出具有指定奇数第一贝蒂数和体积的闭合双曲3-流形，使其边界化双曲4-流形？

主要发现

• 对每个$n \in \mathbb{Z}_+$及每个奇数$k \in [1, 5n+3]$，存在一个闭合双曲3-流形$M$，满足$\beta^1(M) = k$且$\mathrm{vol}(M) = 16nv$，其中$v \approx 4.3062$为正则直角双曲十二面体的体积。
• 体积为$16nv$的此类几何边界化3-流形的数量至少为$\lceil(5n+3)/2\rceil$，这意味着函数$f_b(x)$（表示体积$\leq x$的几何边界化3-流形的数量）至少呈线性增长。
• 该构造依赖于线性拼接的十二面体序列上的小覆盖，包括$\mathbb{Z}_2^3$-着色及其$\mathbb{Z}_2^4$-扩展。
• 通过拼接的十二面体数量和着色参数的递推关系，系统地控制所得到3-流形的贝蒂数。
• 提供了在单个十二面体上实现从1到7的所有奇数贝蒂数的显式$\mathbb{Z}_2^3$-着色。
• 所构造的3-流形被证明边界化完全测地线的双曲4-流形，从而确认了其几何边界化性质。