[论文解读] Geometrization of the local Langlands correspondence

L Fargues, Peter Scholze|arXiv (Cornell University)|Feb 26, 2021

Advanced Algebra and Geometry参考文献 67被引用 40

一句话总结

本文在 Fargues–Fontaine 曲线上构建几何 Langlands 框架，定义 BunG 上的 l-adic 层（l-adic sheaves），证明几何 Satake 等价，并为 G(E) 的表示构造 L-参数，应用于共同调有限性与谱作用。

ABSTRACT

Following the idea of [Far16], we develop the foundations of the geometric Langlands program on the Fargues--Fontaine curve. In particular, we define a category of $\ell$-adic sheaves on the stack $\mathrm{Bun}_G$ of $G$-bundles on the Fargues--Fontaine curve, prove a geometric Satake equivalence over the Fargues--Fontaine curve, and study the stack of $L$-parameters. As applications, we prove finiteness results for the cohomology of local Shimura varieties and general moduli spaces of local shtukas, and define $L$-parameters associated with irreducible smooth representations of $G(E)$, a map from the spectral Bernstein center to the Bernstein center, and the spectral action of the category of perfect complexes on the stack of $L$-parameters on the category of $\ell$-adic sheaves on $\mathrm{Bun}_G$.

研究动机与目标

• 通过 Fargues–Fontaine 曲线为局部 Langlands 对应提出并制定一个几何化的计划。
• 定义并研究 G-束 BunG 的模堆栈及其 l-adic 层的推导范畴。
• 在此设定下建立几何 Satake 等价，并将其与对偶群和 Hecke 算子联系起来。
• 引入并分析 L-parameters 的堆栈，并为 G(E) 的不可约表示构造 L-parameters。
• 研究局部 Shimura varieties 的共同调有限性及局部 shtuka 的模堆栈的应用，并建立谱作用框架。

提出的方法

• 定义 Fargues–Fontaine 曲线及其各种实现形式（X_S、X_C、Div1）以及相关的 G-束的模堆栈 BunG。
• 构造 v-堆栈 BunG，并将其分层描述为 Bun_b(G) 的子堆栈，其自同构群为 eG_b。
• 发展 l-adic 层的推导范畴 D(BunG, Q_l)，并建立成半正交分解至 D(Bun_b(G), Q_l)。
• 在此设定下证明几何 Satake 等价，导出一个单张量性的函子 Rep bG → D(HckG, Q_l)。
• 通过全局和局部 Hecke 堆栈引入 Hecke 运算符，表明它们在 D(BunG, Q_l) 上提供 Weil 群等变结构。
• 构造并分析 L-parameters 的堆栈，并定义 excursion 运算符以从 D(BunG, Q_l) 中的对象访问 L-parameters。
• 描述 Perf(Coh(Stacks of L-parameters)) 对 D(BunG, Q_l) 的谱作用，并讨论系数变体（有理/整数量纲）。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何利用 Fargues–Fontaine 曲线将局部非对角域的局部 Langlands 对应几何化？
• RQ2 在 Fargues–Fontaine 曲线上，G-bundles 如何与 G(E) 的表示以及通过 Hecke 运算符的 L-参数相关？
• RQ3 是否可以在 Fargues–Fontaine 设置中建立几何 Satake 等价，以自然地恢复 Langlands 对偶群？
• RQ4 对于与局部 Shimura varieties 和 shtukas 相关的模堆栈，能得到哪些有限性和结构性质（如共同调、分区、Bernstein 中心）？
• RQ5 谱作用框架如何组织 L-参数、Hecke 动作与 G(E) 表示之间的交互？

主要发现

• 在 BunG 上定义了一个 l-adic 层的范畴，并在 Fargues–Fontaine 曲线上建立了几何 Satake 等价。
• 引入 L-parameters 的堆栈，并分析其奇异性与粗模空间。
• 局部 Shimura varieties 与局部 shtuka 的模空间的共同调有限性结果。
• 将 L-parameters 与 G(E) 的不可约光滑表示关联起来，并给出谱作用的公式。
• 从谱 Bernstein 中心到 Bernstein 中心 的自然映射被定义。
• 开发 excursion 运算符以从 BunG 的导出范畴对象访问 L-parameters。