[论文解读] Geometry and curvature of diffeomorphism groups with $H^1$ metric and mean hydrodynamics

Steve Shkoller|ArXiv.org|Jul 15, 1998

Nonlinear Waves and Solitons参考文献 9被引用 25

一句话总结

本文在紧致黎曼流形 $M$ 上的体积保持希尔伯特微分同胚群 $\mathcal{D}^s_\mu(M)$ 上，利用 $H^1$ 右不变度量，建立了研究平均流体动力学中拉格朗日稳定性所需的几何基础。证明了 $H^1$ 度量的曲率张量在 $H^s$ 拓扑下有界，确保了雅可比场的存在性，从而支持测地线稳定性的分析，并应用于霍尔姆-马尔斯登-拉蒂乌的平均流体模型。

ABSTRACT

Recently, Holm, Marsden, and Ratiu [1998] have derived a new model for the mean motion of an ideal fluid in Euclidean space given by the equation $\dot{V}(t) + abla_{U(t)} V(t) - α^2 [ abla U(t)]^t \cdot riangle U(t) = - ext{grad} p(t)$ where $ ext{div} U=0$, and $V = (1- α^2 riangle)U$. In this model, the momentum $V$ is transported by the velocity $U$, with the effect that nonlinear interaction between modes corresponding to length scales smaller than $α$ is negligible. We generalize this equation to the setting of an $n$ dimensional compact Riemannian manifold. The resulting equation is the Euler-Poincaré equation associated with the geodesic flow of the $H^1$ right invariant metric on ${\mathcal D}^s_μ$, the group of volume preserving Hilbert diffeomorphisms of class $H^s$. We prove that the geodesic spray is continuously differentiable from $T{\mathcal D}_μ^s(M)$ into $TT{\mathcal D}_μ^s(M)$ so that a standard Picard iteration argument proves existence and uniqueness on a finite time interval. Our goal in this paper is to establish the foundations for Lagrangian stability analysis following Arnold [1966]. To do so, we use submanifold geometry, and prove that the weak curvature tensor of the right invariant $H^1$ metric on ${\mathcal D}^s_μ$ is a bounded trilinear map in the $H^s$ topology, from which it follows that solutions to Jacobi's equation exist. Using such solutions, we are able to study the infinitesimal stability behavior of geodesics.

研究动机与目标

• 将霍尔姆-马尔斯登-拉蒂乌的平均流体模型从欧几里得空间推广至紧致黎曼流形，使用 $H^1$ 度量。
• 在希尔伯特微分同胚群 $\mathcal{D}^s_\mu(M)$ 上建立测地线喷射的可微性，确保测地线的局部存在性与唯一性。
• 计算 $\mathcal{D}^s_\mu(M)$ 上 $H^1$ 右不变度量的弱曲率张量，并证明其在 $H^s$ 拓扑下为有界三线性映射。
• 通过曲率分析实现拉格朗日稳定性分析，利用雅可比场研究测地线的无穷小稳定性。

提出的方法

• 在紧致黎曼流形 $M$ 上的体积保持 $H^s$ 微分同胚群 $\mathcal{D}^s_\mu(M)$ 上形式化 $H^1$ 右不变度量。
• 推导该度量下测地线流的欧拉-庞加莱方程，将霍尔姆-马尔斯登-拉蒂乌模型推广至流形。
• 应用子流形几何技术，在 $H^s$ 拓扑下计算 $H^1$ 度量的弱曲率张量。
• 证明测地线喷射是连续可微的，从而可使用皮卡迭代法证明测地线的局部存在性与唯一性。
• 利用曲率张量的有界性，建立测地线上的雅可比方程解的存在性。
• 通过截面曲率分析共轭点与稳定性，尤其关注非正曲率的情形。

实验结果

研究问题

• RQ1 在紧致流形上的平均流体模型中，$\mathcal{D}^s_\mu(M)$ 上的 $H^1$ 右不变度量如何影响测地线流的几何与动力学？
• RQ2 在 $\mathcal{D}^s_\mu(M)$ 上，$H^1$ 度量的曲率张量结构为何？其在 $H^s$ 拓扑下是否为有界？
• RQ3 在 $H^1$ 度量下，雅可比场的存在性是否可保证？这对测地线的稳定性意味着什么？
• RQ4 在何种曲率条件下，$\mathcal{D}^s_\mu(M)$ 中的测地线无共轭点？
• RQ5 特定测地线（如在环面上的剪切流）的稳定性特性如何依赖于 $H^1$ 度量的曲率？

主要发现

• 在 $\mathcal{D}^s_\mu(M)$ 上，$H^1$ 右不变度量的弱曲率张量是 $H^s$ 拓扑下的有界三线性映射，确保了雅可比方程解的存在性。
• 雅可比方程的解存在，可用于分析 $H^1$ 度量设定下测地线的无穷小稳定性。
• 对于 $\mathcal{D}^s_\mu(M)$ 中的压强常数测地线，若截面曲率为非正，则测地线上无共轭点。
• 在二维环面 $\mathbb{T}^2$ 上，形如 $\eta(t)(x^1,x^2) = (x^1 + h(x^2), x^2 + ct)$ 和 $\eta(t)(x^1,x^2) = (x^1 + t h(x^2), x^2)$ 的测地线在 $H^1$ 度量下被证明为压强常数测地线。
• 对于方向 $X = (\sin(kx^1), 0)$，$Y = (\cos(kx^1), 0)$，截面曲率 $\langle R^1_e(X,Y)Y,X\rangle_1$ 对所有 $k \neq 0$ 为负，表明该方向存在不稳定性。
• 环面 $\mathbb{T}^2$ 上剪切型解的测地线流在 $\cos(kx^2)$ 方向的扰动下表现出不稳定性，与曲率分析的预测一致。