[论文解读] Geometry and Dynamics in Zero Temperature Statistical Mechanics Models

Ran J. Tessler|arXiv (Cornell University)|Aug 31, 2010

Theoretical and Computational Physics被引用 5

一句话总结

本文研究零温统计力学模型，重点关注平移不变子图测度、自旋玻璃基态以及两种新动力学：零温Glauber动力学和一种新型环状动力学（Loop Dynamics）。研究证明，在偶数度正则树上，Glauber动力学不会冻结，并表明环状动力学的弱极限产生具有域壁结构的自旋构型，为无序系统中自旋系统的稳定性和几何结构提供了新见解。

ABSTRACT

We consider several models whose motivation arises from statistical mechanics. We begin by investigating some families of distributions of translation invariant subgraphs of some Cayley graphs, and in particular subgraphs of the square lattice. We then discuss some properties of the Spin-Glass model in that lattice. We continue in describing some properties of the Spin-Glass models in some other graphs. The last two parts of this work are devoted to the understanding of two dynamical processes on graphs. The first one is the well known zero-temperature Glauber dynamics on some families of graphs. The second dynamics, which we call the Loop Dynamics, is a natural generalization of the zero-temperature Glauber dynamics, which appears to have some interesting properties. We analyzed some of its properties for planar lattices, though the exact same techniques are applied for larger families of graphs as well.

研究动机与目标

• 分析平面上格点及其他可乘Cayley图中子图的平移不变测度，特别是无限路径和格点树。
• 表征爱德华兹-安德森伊辛自旋玻璃模型在不同图（包括正方形格点和正则树）上的基态几何结构。
• 研究图上零温Glauber动力学，特别是证明在偶数度正则树上存在非冻结行为。
• 引入并分析一种新动力学过程——环状动力学，作为Glauber动力学的推广，其弱极限具有明确定义的性质。
• 建立动力学演化在小耦合扰动下的稳定性，表明自旋构型的翻转序列在小相互作用变化下保持不变。

提出的方法

• 利用遍历理论与质量传输原理分析图上不变测度，特别是子图和自旋构型的测度。
• 应用平移不变概率测度与群作用研究$π^2$格点中的无限路径与森林结构。
• 采用对偶边与域壁的概念分析动力学过程中自旋翻转序列及其稳定性。
• 将环状动力学引入为Glauber动力学的推广，其中翻转沿闭合环路（或高维情形下的曲面）发生，翻转速率由耦合强度控制。
• 利用弱极限论证与翻转序列的连续性，表明小耦合扰动不会改变自旋构型的演化过程。
• 应用[Newman00natureof]中的结果，表征子序列弱极限之间差异的结构为双向无限对偶路径的集合。

实验结果

研究问题

• RQ1 在正方形格点及其他图上，无限路径或格点树的平移不变测度在何种条件下存在？
• RQ2 二维爱德华兹-安德森自旋玻璃模型中基态的几何结构与在其他图上的结构有何不同？
• RQ3 零温Glauber动力学在偶数度正则树上是否会冻结？其与奇数度树的行为相比如何？
• RQ4 在平面格点和可乘Cayley图上，新引入的环状动力学具有何种结构与动力学特性？
• RQ5 在小耦合强度扰动下，环状动力学下自旋构型的演化在多大程度上保持稳定？

主要发现

• 在偶数度正则树上，零温Glauber动力学不会冻结，这与已知的奇数度树上冻结行为形成鲜明对比。
• 环状动力学过程的弱极限产生自旋构型，其中无限次翻转的边集构成双向无限对偶路径的集合。
• 对于任意固定边，存在一个耦合值的正邻域，使得在此邻域内改变耦合值不会改变自旋翻转的序列。
• 导致翻转序列发生变化的耦合值集合至多可数，因此其勒贝格测度为零，意味着在小扰动下具有几乎必然的稳定性。
• 在具有唯一基态的图上（如特定连通性条件下的图族），基态是唯一确定的；而正则树则存在无穷多个基态。
• 环状动力学过程定义良好，其弱极限表现出非平凡的几何结构，尤其体现为分隔不同自旋构型的域壁。