[论文解读] Geometry and intersection theory on Hilbert schemes of families of nodal curves

Ziv Ran|ArXiv.org|Mar 31, 2008

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 8被引用 3

一句话总结

本文通过相对对称积上的周期映射，建立了节点曲线相对希尔伯特概形的爆破描述，证明其解析了多重点的判别式局部。论文发展了一套基于旗希尔伯特概形与分裂原则的叶状丛陈类的递归相交微积分，使通过叶状类与边界分量数据计算枚举不变量（如三 secant 计数）成为可能。

ABSTRACT

We study the relative Hilbert scheme of a family of nodal (or smooth) curves, over a base of arbitrary dimension, via its (birational) cycle map, going to the relative symmetric product. We show the cycle map is the blowing up of the discriminant locus, which consists of cycles with multiple points. We work out the action of the blowup or 'discriminant' polarization on some natural cycles in the Hilbert scheme, including generalized diagonals and cycles, called 'node scrolls', parametrizing schemes supported on singular points. We derive an intersection calculus for Chern classes of tautological vector bundles, which are closely related to enumerative geometry.

研究动机与目标

• 解决先前工作中尚未解决的相对节点曲线希尔伯特概形上叶状丛陈数的计算问题。
• 为希尔伯特概形上叶状丛任意多项式陈类建立系统的相交微积分。
• 确立希尔伯特概形到对称积的周期映射为判别式局部的爆破。
• 将枚举不变量的计算归约为基空间边界分量上的芒福德叶状类。
• 通过旗希尔伯特概形与叶状丛的分裂原则，提供一个递归框架。

提出的方法

• 证明周期映射 $\mathfrak{c}_m: X^{[m]}_B \to X^{(m)}_B $ 是判别式局部 $D^m$ 的爆破，其中 $\Gamma^{(m)} = \mathfrak{c}_m^{-1}(D^m)$ 为例外除子。
• 利用分裂原则（推论 3.5）将 $X^{[m,m-1]}_B$ 上的总陈类 $c(\Lambda_m(E))$ 表示为 $c(\Lambda_{m-1}(E))$ 与涉及 $\Gamma^{(m)}$ 的判别因子的乘积。
• 通过旗希尔伯特概形递归定义叶状模 $T^m$，其为对角类与节点柱面/截面的加法生成元。
• 应用传递定理（定理 3.3）通过旗概形 $W^m$ 将 $X^{[m-1]}_B$ 上的陈类多项式上拉至 $X^{[m]}_B$。
• 利用投影公式与模定理（2.1）确保叶状模在上推与乘法下的封闭性。
• 通过在 $W^m \times G$ 上的积分计算特定不变量（如三 secant 计数），将其约化为格拉斯曼流形与希尔伯特概形上叶状丛陈类的乘积。

实验结果

研究问题

• RQ1 希尔伯特概形到相对对称积的周期映射是否同构于判别式局部的爆破？
• RQ2 能否为节点曲线希尔伯特概形上叶状丛的陈类发展出递归相交微积分？
• RQ3 如何通过边界分量上的叶状类计算枚举不变量（如 m-secant 平面的数量）？
• RQ4 判别除子 $\Gamma^{(m)}$ 在编码希尔伯特概形几何信息方面，其作用是否超越对称积？
• RQ5 叶状模 $T^m$ 在在 $X^{[m]}_B$ 上是否捕捉了所有相关的相交理论信息？

主要发现

• 周期映射 $\mathfrak{c}_m$ 是相对对称积沿判别式局部 $D^m$ 的爆破，其中 $\Gamma^{(m)} = \mathfrak{c}_m^{-1}(D^m)$，且 $-\Gamma^{(m)}$ 是爆破的自然 $\mathcal{O}(1)$ 极化。
• 分裂原则（推论 3.5）将 $X^{[m,m-1]}_B$ 上的 $c(\Lambda_m(E))$ 表示为 $c(\Lambda_{m-1}(E)) \cdot \text{判别因子}$，从而实现递归计算。
• 叶状模 $T^m$ 由相对对角局部与节点柱面/截面生成，且通过旗希尔伯特概形的传递映射保持封闭。
• 对于 $\mathbb{P}^3$ 中的光滑曲线，三 secant 直线的虚拟数量为 $\frac{1}{6}(2d^3 - 12d^2 + 16d - 3d(2g-2) + 6(2g-2))$，可通过该微积分计算。
• 在 $\mathbb{P}^{2m-1}$ 中一般有理线性系（度数为 $d$）的情形下，具有 $(m-2)$-secant 平面的曲线数 $N_m$ 通过在 $W^m \times G$ 上的积分计算，其贡献来自 $\Gamma^{(m)}$ 与陈类的特定单项式。
• 该微积分将所有不变量约化为特征 $b = L^2$, $d = \deg_\pi(L)$, $\omega^2$, $\sigma$, $\omega \cdot L$, 以及 $\deg_\pi(\omega) = 2g-2$，并可在 $d$ 上递归计算。