[论文解读] Geometry and the Quantum

Alain Connes|arXiv (Cornell University)|Mar 7, 2017

Noncommutative and Quantum Gravity Theories被引用 5

一句话总结

本文提出了一种谱非交换几何框架，通过将时空建模为连续4维几何与有限非交换空间的乘积，统一了引力与标准模型。利用来自克利福德代数的谱作用原理和高阶海森堡关系，该框架推导出与标准模型的帕蒂-萨拉姆扩展耦合的爱因斯坦引力，实现了时空体积的自动量子化以及希格斯机制的几何起源。

ABSTRACT

We give a survey of our joint ongoing work with Ali Chamseddine, Slava Mukhanov and Walter van Suijlekom. We show how a problem purely motivated by "how geometry emerges from the quantum formalism" gives rise to a slightly noncommutative structure and a spectral model of gravity coupled with matter which fits with experimental knowledge. This text will appear as a contribution to the volume: "Foundations of Mathematics and Physics one century after Hilbert". Editor: Joseph Kouneiher. Collection Mathematical Physics, Springer 2017

研究动机与目标

• 使用非交换几何统一引力与粒子物理的标准模型。
• 为标准模型的希格斯机制和有限维内部空间提供几何基础。
• 从基本的谱原理推导出爱因斯坦-希尔伯特作用量与物质耦合。
• 解释时空体积的量子化以及4维自旋几何从代数结构中的涌现。
• 探索物理与几何预量子统一的观念与数学基础。

提出的方法

• 将时空建模为谱三元组 $({\mathcal{A}}, {\mathcal{H}}, D)$，其中 $D$ 为狄拉克算符，$\mathcal{A}$ 为非交换代数。
• 应用谱作用原理，通过狄拉克算符函数的迹生成与物质耦合的爱因斯坦-希尔伯特作用量。
• 利用来自克利福德代数的高阶海森堡对易关系刻画4维自旋几何及其量子化。
• 通过非交换 gauge 变换实现度规的内禀涨落，以生成杨-米尔斯与引力部分。
• 利用 $KO$-理论与指标定理对 $KO$-维数为6模8的有限非交换几何进行分类，与标准模型相匹配。
• 应用沃克旋转与欧几里得路径积分形式化，与量子场论建立联系，边界项与标量场冻结自然出现。

实验结果

研究问题

• RQ1 非交换几何如何为标准模型的希格斯机制与内部对称性提供几何起源？
• RQ2 能否从单一基本谱原理中自然涌现出与标准模型耦合的引力全作用量？
• RQ3 有限非交换空间在决定粒子内容与规范群结构中扮演何种角色？
• RQ4 谱作用如何导致时空体积的量子化以及无宇宙学常数项的出现？
• RQ5 费米子世代数能否从非交换几何中的拓扑或代数结构中自然涌现？

主要发现

• 谱作用原理通过有限非交换空间的几何结构，重现了与标准模型耦合的爱因斯坦-希尔伯特作用量，包括希格斯机制。
• 4维时空的体积通过谱三元组上的阿蒂亚-辛格指标定理自动实现量子化。
• 狄拉克算符与费曼斜线坐标之间的高阶海森堡对易关系产生对应于4维自旋几何的不可约表示。
• 该模型自然产生规范群的帕蒂-萨拉姆统一，其耦合常数在高能下统一，如与查姆塞德丁和范苏伊勒科姆的联合工作所示。
• 当应用于具有边界的紧致4-流形时，谱作用自然出现涉及外曲率的边界项，与霍金和吉布斯的结果一致。
• 引力作用中的标量场模式通过高阶海森堡方程被冻结，解决了泛函积分中的符号问题。