[论文解读] Geometry-aware Bayesian Optimization in Robotics using Riemannian Matérn Kernels

Noémie Jaquier, Viacheslav Borovitskiy+4 more|arXiv (Cornell University)|Nov 2, 2021

Robotic Mechanisms and Dynamics参考文献 39被引用 5

一句话总结

本文提出黎曼马尔滕核（Riemannian Matérn kernels）用于在机器人中常见的非欧几里得流形（如 SO(3)、对称正定矩阵（SPD）和双曲空间）上实现几何感知的贝叶斯优化。通过利用拉普拉斯–贝尔特拉米算子的谱理论及广义积分公式，该方法实现了理论严谨、正定的核函数，无需手动调整长度尺度，显著提升了在姿态控制和运动规划等机器人任务中的优化性能。

ABSTRACT

Bayesian optimization is a data-efficient technique which can be used for control parameter tuning, parametric policy adaptation, and structure design in robotics. Many of these problems require optimization of functions defined on non-Euclidean domains like spheres, rotation groups, or spaces of positive-definite matrices. To do so, one must place a Gaussian process prior, or equivalently define a kernel, on the space of interest. Effective kernels typically reflect the geometry of the spaces they are defined on, but designing them is generally non-trivial. Recent work on the Riemannian Matérn kernels, based on stochastic partial differential equations and spectral theory of the Laplace-Beltrami operator, offers promising avenues towards constructing such geometry-aware kernels. In this paper, we study techniques for implementing these kernels on manifolds of interest in robotics, demonstrate their performance on a set of artificial benchmark functions, and illustrate geometry-aware Bayesian optimization for a variety of robotic applications, covering orientation control, manipulability optimization, and motion planning, while showing its improved performance.

研究动机与目标

• 解决在机器人领域中非欧几里得流形（如旋转群和对称正定矩阵）上优化函数的挑战，其中标准欧几里得核无法捕捉几何结构。
• 构建一个通用且理论基础坚实的框架，用于在黎曼流形上构造几何感知的高斯过程核函数，扩展了以往仅限于紧致流形的研究。
• 通过将流形的内在几何结构融入核设计，实现数据高效的机器人贝叶斯优化，提升收敛速度与鲁棒性。
• 在真实机器人应用中展示所提核函数的实用性，包括姿态控制、可操作性优化和运动规划。

提出的方法

• 该方法通过平方指数核的积分表示形式，构建黎曼马尔滕核，使其可扩展至先前研究未覆盖的非紧致流形。
• 利用拉普拉斯–贝尔特拉米算子的谱理论，通过不可约表示的特征标和特征值，基于群表示的级数展开定义核函数。
• 针对特定流形（如 SO(3)、SPD 矩阵和双曲空间），利用群论工具（如威尔特征公式和乔列斯基分解）推导出显式核表达式。
• 核函数定义为 $ k_{\nu,\kappa,\sigma^2}(\mathbf{X},\mathbf{Y}) = \frac{\sigma^2}{C_\nu} \sum_{\pi} \left( \frac{2\nu}{\kappa^2} + \lambda_\pi \right)^{-\nu - \frac{d}{2}} d_\pi \chi_\pi(\mathbf{X}\mathbf{Y}^{-1}) $，确保正定性与光滑性控制。
• 该方法通过流形的内在度量和谱分解，将几何结构直接嵌入核函数，避免了启发式长度尺度选择。
• 在人工基准和机器人任务上验证了该方法，采用基于所推导核函数的贝叶斯优化来调优控制参数并优化机器人行为。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将马尔滕核推广至非紧致黎曼流形（如 SO(3)、SPD 矩阵和双曲空间），以扩展先前仅限于紧致流形的研究？
• RQ2 基于拉普拉斯–贝尔特拉米算子谱理论的几何感知核函数，是否能提升机器人贝叶斯优化中的数据效率与收敛性能？
• RQ3 在机器人控制与规划任务中，所提出的黎曼马尔滕核相较于标准欧几里得核或启发式几何核，在优化性能上表现如何？
• RQ4 当核函数的光滑性与长度尺度参数由流形内在几何结构导出时，其作用是什么？这些参数能否实现有意义的优化？

主要发现

• 所提出的黎曼马尔滕核在理论上保证为正定核，且无需像以往几何感知方法那样进行人为的长度尺度选择。
• 该方法可在非欧几里得流形（如 SO(3)、SPD 矩阵和双曲空间）上实现有效的贝叶斯优化，其显式核表达式基于群表示理论推导得出。
• 在人工基准测试中，黎曼马尔滕核在收敛速度与精度方面均优于标准欧几里得核及朴素的几何近似方法。
• 在机器人应用（包括姿态控制与运动规划）中，该方法相比基线方法实现了更快的收敛速度与更优的性能表现。
• 核函数的构造支持通过马尔滕参数 $\nu$ 调节光滑性，从而更好地适应底层流形结构。