[论文解读] Geometry of 2d topological field theories

Boris Dubrovin|ArXiv.org|Jul 4, 1994

Nonlinear Waves and Solitons被引用 36

一句话总结

本文通过WDVV方程建立了二维拓扑场论（TFT）的几何框架，将Frobenius流形确立为核心几何结构。研究表明，WDVV方程的解——描述TFT模空间的解——对应于平坦度量束与等单变分，关键结果揭示了其与Painlevé VI方程、可积级数及正则系统单值群之间的联系。

ABSTRACT

These lecture notes are devoted to the theory of equations of associativity describing geometry of moduli spaces of 2D topological field theories. Introduction. Lecture 1. WDVV equations and Frobenius manifolds. {Appendix A.} Polynomial solutions of WDVV. {Appendix B.} Symmetriies of WDVV. Twisted Frobenius manifolds. {Appendix C.} WDVV and Chazy equation. Affine connections on curves with projective structure. Lecture 2. Topological conformal field theories and their moduli. Lecture 3. Spaces of isomonodromy deformations as Frobenius manifolds. {Appendix D.} Geometry of flat pencils of metrics. {Appendix E.} WDVV and Painlevé-VI. {Appendix F.} Branching of solutions of the equations of isomonodromic deformations and braid group. {Appendix G.} Monodromy group of a Frobenius manifold. {Appendix H.} Generalized hypergeometric equation associated to a Frobenius manifold and its monodromy. {Appendix I.} Determination of a superpotential of a Frobenius manifold. Lecture 4. Frobenius structure on the space of orbits of a Coxeter group. {Appendix J.} Extended complex crystallographic groups and twisted Frobenius manifolds. Lecture 5. Differential geometry of Hurwitz spaces. Lecture 6. Frobenius manifolds and integrable hierarchies. Coupling to topological gravity.

研究动机与目标

• 将关联性方程（WDVV）表述为二维拓扑场论模空间上的几何结构。
• 将具有良好解析性质的WDVV方程解识别为辛与Calabi-Yau流形的Gromov-Witten不变量的生成函数。
• 通过半经典Lax表示，建立Frobenius流形与可积级数之间的对应关系。
• 定义并研究Frobenius流形的单值群，作为与镜像对称相关的离散不变量。
• 探索WDVV方程的对称性，包括将具有不同中心荷的解相互关联的Bäcklund型变换。

提出的方法

• 将Frobenius流形作为WDVV方程解的几何实现，其由势函数F(t)定义，其三阶导数生成结合、交换的代数结构。
• 在参数t的模空间中，将变形仿射联络与变形欧氏度量作为关键几何对象进行构造。
• 利用等单变分理论，证明等单变分空间自然携带Frobenius流形结构。
• 通过将哈密顿量与平坦坐标关联，并利用阿贝尔微分的留数公式，推导可积级数的半经典Lax表示。
• 将Frobenius流形的单值群定义为控制欧氏结构变分的正则系统单值性。
• 将该理论应用于Coxeter群与复晶体学群，证明解可表示为这些群不变量的函数。

实验结果

研究问题

• RQ1 WDVV方程如何编码二维拓扑场论模空间的几何结构？
• RQ2 解析性条件在选择WDVV方程孤立解中起什么作用？
• RQ3 Frobenius流形与可积级数及其色散极限之间有何关系？
• RQ4 Frobenius流形的单值群是否可以是离散的？其揭示了关于镜像对称的何种信息？
• RQ5 WDVV方程的对称群结构如何？其与拓扑弦理论中的对偶性有何关联？

主要发现

• 具有良好解析性质的WDVV方程解是孤立的，且对应于K"ahler流形与辛流形的Gromov-Witten不变量的生成函数。
• 对于半单代数At，WDVV的一般解通过Painlevé VI型超越函数及其高阶类比形式表达。
• 等单变分空间自然携带Frobenius流形结构，其中变形仿射联络与度量为关键组成部分。
• 为任意Frobenius流形关联的级数构造了半经典Lax表示，哈密顿量由平坦坐标与阿贝尔微分导出。
• 对于具有良好解析性质的解，Frobenius流形的单值群被猜想为离散的，并在显式例子中证明其为有限Coxeter群、仿射Weyl群或复晶体学群。
• 与Coxeter群及扩展复晶体学群相关的解，可通过群不变量的显式公式给出，从而为WDVV解提供了几何实现。