[论文解读] Geometry of Character Varieties of Surface Groups

Motohico Mulase|arXiv (Cornell University)|Oct 28, 2007

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 17被引用 6

一句话总结

本文回顾了曲面群特征簇的几何结构，重点探讨了Hitchin可积系统及其与向量丛模空间、镜像对称和Langlands对偶性的联系。通过Sato Grassmannian，本文建立了Hitchin系统与n分量KP可积层次之间的对应关系，表明Hitchin纤维丛可上拉为Grassmannian上的动力系统，其轨道实现为Prym簇。

ABSTRACT

This article is based on a talk delivered at the RIMS--OCAMI Joint International Conference on Geometry Related to Integrable Systems in September, 2007. Its aim is to review a recent progress in the Hitchin integrable systems and character varieties of the fundamental groups of Riemann surfaces. A survey on geometric aspects of these character varieties is also provided as we develop the exposition from a simple case to more elaborate cases.

研究动机与目标

• 调查曲面群特征簇的几何结构，特别是其与稳定向量丛模空间的关系。
• 阐明Hitchin可积系统在联络辛几何、代数几何与数学物理之间的角色。
• 通过Sato Grassmannian，建立Hitchin系统与n分量KP可积层次之间的范畴与几何桥梁。
• 探讨镜像对称与Langlands对偶性如何通过4D Yang-Mills理论的维度约化及Hitchin系统中的T-对偶性涌现。
• 提出模堆栈与无限维Grassmannian比经典稳定丛模空间更适合作为理解特征簇中对偶性现象的框架。

提出的方法

• 使用特征簇构造 $\mathrm{Hom}(\pi_1(\Sigma_g), G)/G$ 作为商空间，对有限群与半单群的群作用及稳定子进行细致处理。
• 应用Atiyah-Bott方法处理 $U_n$-特征簇，将其与Yang-Mills理论及辛几何联系起来。
• 采用Hitchin在黎曼曲面上构造Higgs丛的方法，为模空间 $\mathcal{H}_C(n,d)$ 定义全纯辛结构。
• 引入Hitchin纤维丛 $H: \mathcal{H}_C(n,d) \to V_{GL}$，其纤维同构于谱曲线的广义雅可比簇。
• 通过标量作用 $\lambda \cdot \phi$ 的商构造投影版本 $\mathbb{P}(\mathcal{H}_C(n,d))$，得到在加权射影空间上的纤维丛。
• 建立从投影Hitchin系统的底空间到Sato Grassmannian的有理映射 $\iota$，使得KP层次的轨道作为模空间的像被实现。

实验结果

研究问题

• RQ1 曲面群的特征簇如何与可积系统及向量丛模空间相关联？
• RQ2 Hitchin系统与n分量KP层次之间精确的几何与动力对应关系为何？
• RQ3 Hitchin纤维丛如何与Prym簇及谱曲线的几何相关联？
• RQ4 镜像对称与Langlands对偶性如何通过T-对偶性与傅里叶-穆凯伊变换在Hitchin系统中涌现？
• RQ5 为何无限维Sato Grassmannian比有限维模空间更适合作为理解特征簇中对偶性的框架？

主要发现

• 对于有限群 $G$，公式 $\left| \mathrm{Hom}(\pi_1(\Sigma_g), G) \right| / |G| = \sum_{\lambda \in \hat{G}} \left( \frac{\dim \lambda}{|G|} \right)^{2-2g}$ 由代数分解 $\mathbb{C}[G] \cong \bigoplus_{\lambda \in \hat{G}} \mathrm{End}(\lambda)$ 推导得出。
• 模空间 $\mathcal{H}_C(n,d)$ 的 $G = GL_n(\mathbb{C})$-Higgs丛是具有复结构 $I$, $J$, $K$ 的超凯勒流形，并允许全纯辛形式 $\omega_I$。
• Hitchin纤维丛 $H: \mathcal{H}_C(n,d) \to V_{GL}$ 的纤维是广义雅可比簇 $\mathrm{Jac}(C_s)$ 的有限覆盖，其次数为 $2^{3(g-1)} \cdot 3^{5(g-1)} \cdots n^{(2n-1)(g-1)}$。
• 投影Hitchin模空间 $\mathbb{P}(\mathcal{H}_C(n,d))$ 在加权射影空间 $\mathbb{P}_w(V_{GL})$ 上具有纤维丛结构，且Hitchin系统可上拉为Sato Grassmannian上的动力系统。
• 有理映射 $\iota: \mathbb{P}_w(V_{GL}) \to \mathrm{Grass}$ 将底空间嵌入Sato Grassmannian，使得从 $\iota(\mathbb{P}_w(V_{GL}))$ 出发的n分量KP方程轨道与 $\mathbb{P}(\mathcal{H}_C(n,d))$ 有理同构。
• 在 $\mathbb{P}(\mathcal{H}_C(n,d))$ 上的动力系统是通过 $\iota$ 拉回n分量KP方程的结果，且其轨道实现了迹为零的KP系统的Prym簇。