[论文解读] Geometry of cohomology support loci for local systems I

Donu Arapura|ArXiv.org|Dec 7, 1996

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 7被引用 162

一句话总结

本文確立了緊緻凱勒流形的扎里斯基開子集上局部系統的上同調支撐軌跡的幾何結構，顯示它們在特徵簇中是子環的平移的有限並集。利用希格斯束技術與上上同調同構，證明這些軌跡具有指數霍奇類型，從而對此類空間的基本群施加強烈的拓撲約束，特別是關於到一般型曲線的映射。

ABSTRACT

Let X be a Zariski open subset of a compact Kaehler manifold. In this paper, we study the set $Σ^k(X)$ of one dimensional local systems on X with nonvanishing kth cohomology. We show that under certain conditions (X compact, X has a smooth compactification with trivial first Betti number, or k=1) $Σ^k(X)$ is a union of translates of sets of the form $f^*H^1(T,C^*)$, where $f:X o T$ is a holomorphic map to a complex Lie group which is an extension of a compact complex torus by a product of C^*'s (these correspond to semiabelian varieties in the algebraic category). This generalizes earlier work of Beauville, Green, Lazarsfeld, Simpson and the author in the compact case. The main novelty lies in the proofs which involve consideration of Higgs fields with logarithmic poles. While a completely satifactory theory of such objects is still lacking, we are able to work out what we need in the rank one case by borrowing ideas from mixed Hodge theory. This will appear in the Journal of Algebraic Geometry.

研究动机与目标

• 理解緊緻凱勒流形的扎里斯基開子集上局部系統的上同調支撐軌跡的幾何結構。
• 確立這些軌跡在特徵簇中為子環平移的有限並集，推廣緊緻凱勒流形上的結果。
• 證明一階上同調支撐軌跡 Σ¹(X) 具有指數霍奇類型，暗示其可有限分解為子混合霍奇結構的指數平移。
• 推導此類空間基本群的拓撲約束，特別是關於到一般型曲線的滿射映射。
• 證明到一般型曲線的可接受映射數量是有限的，且僅由基本群決定。

提出的方法

• 使用希格斯束技術，將 X 上平坦單位酉聯絡與緊化 X̄ 上具有法向交叉除子 D 的對數希格斯場聯繫起來。
• 應用上上同調同構：H•(X, Vθ) ≅ H•(Ω•(log D) ⊗ V; ∇ + θ) ≅ H•(Ω•(log D) ⊗ V; θ)，顯示在 θ 的縮放下不變性。
• 確立上同調在變換 θ ↦ tθ 下不變，這是證明指數霍奇類型結構的關鍵步驟。
• 應用霍奇希爾伯特-塞爾 spectral 序列，將 H¹(X, Cρ) 與 HomΛ(M, Cρ) 關聯起來，其中 M 是特徵簇上的模。
• 利用 Σ¹(X) 是扎里斯基閉且在單位酉特徵下滿足射線條件的事實，推導其指數霍奇類型結構。
• 應用涉及單值變換與曲線上局部系統的拓撲論證，證明上推的單射性與分量的有限性。

实验结果

研究问题

• RQ1 對於緊緻凱勒流形的扎里斯基開子集 X，上同調支撐軌跡 Σ¹(X) 的幾何結構為何？
• RQ2 局部系統的上同調在希格斯場縮放下如何行為，這對支撐軌跡有何含義？
• RQ3 支撐軌跡 Σk(X) 在多大程度上決定 X 的基本群？
• RQ4 Σ¹(X) 的結構能否用來檢測 X 到一般型曲線的可接受映射的存在性？
• RQ5 指數霍奇類型結構對 X 的拓撲施加了何種約束？

主要发现

• Σ¹(X) 是 H¹(X, C*) 中子環平移的有限並集，具體為 ∪i ρi f_i^* H¹(C_i, C*) ∪ ∪j {ρ'j}，其中 f_i: X → C_i 是到歐拉特徵為負的曲線的全純映射。
• 局部系統 V_θ 的上同調在變換 θ ↦ tθ 下不變，這是證明指數霍奇類型結構的關鍵步驟。
• Σk(X) 具有指數霍奇類型：它是 H¹(X, C) 中複子空間 exp(Λ_i ⊗ C + r_i) 的平移的有限並集。
• 包含平凡特徵的 Σ¹(X) 的 b 維分量數量是有限的，且僅依賴於 π₁(X)，與特定的凱勒結構無關。
• X 可接受到一般型曲線的滿射全純映射，當且僅當 π₁(X) 可滿射到非交換自由群。
• 若 dim H₁(π₁(X)', C) = ∞，則存在有限的無分支阿貝爾覆蓋 Y → X，使得 Y 可接受到一般型曲線的可接受映射。